Nahezu das Gesamte Spektrum der Mathematik wird vom größten Institut der Fakultät abgedeckt. Das vielseitige Mathematische Institut wird sowohl den Anforderungen der Praxis als auch der Grundlagenforschung gerecht. Physikalische Experimente, biologische Analysen, Wirtschaftsprognosen oder der wissenschaftliche Einsatz von Computern sind undenkbar ohne mathematische Methoden. Der Mathematiker muß diese nicht nur anwenden, sondern auch entwickeln und theoretisch begründen. Hieraus hat sich eine mathematische Forschung entwickelt, die sich zwar in großen Zügen an den konkreten Problemen anderer Gebiete orientiert, die aber auch eigenen Gesetzten folgt. Die daraus resultierende mathematische Sprache erlaubt die präzise Beschreibung und die eingehende Analyse von Problemen und ihre rechnerische Behandlung.
Die Zahlentheorie fasziniert durch einfach formulierbare Probleme, deren Lösung oft sehr komplizierte analytische und algebraische Methoden erfordert. Viele Klassifikationsfragen führen auf zahlentheoretische Probleme. Besonderes Interesse gilt den Galoisdarstellungen, Zetafunktionen und diophantischen Approximationen.
Die Algebraische Geometrie betrachtet geometrische Gebilde, die durch algebraische Gleichungen gegeben werden. In Köln werden diskrete Invarianten und stetige Parameter studiert sowie Singularitäten und Anwendungen auf zahlentheoretische Fragen.
Die Differentialgeometrie hat ihren Ursprung in der Untersuchung von Kurven oder Flächen. Der moderne Begriff der Mannigfaltigkeit umfaßt diese, aber auch komplizierte Räume der Geometrie und Physik. Die Arbeitsgruppe befaßt sich insbesondere mit der Theorie der Untermannigfaltigkeiten und den Beziehungen zu Symmetriegruppen. Aus der traditionellen Kombinatorik hat sich die Diskrete Mathematik entwickelt. Sie beschäftigt sich mit endlichen strukturierten Mengen, die das abstrakte Gerüst etwa für Anwendungen in der Unternehmensforschung oder der Verkehrsplanung darstellen. Die Komplexität konkreter Optimierungsprobleme erfordert maßgeschneiderte Algorithmen, für deren Entwicklung die fundierte Kenntnis der probleminternen diskreten Strukturen unerläßlich ist.
Die räumliche oder zeitliche Entwicklung kontinuierlicher Prozesse wird durch Differentialgleichungen beschrieben. Dazu zählen Schwingungsvorgänge, die Ausbreitung von Wellen, das Erstarren und Entmischen von Schmelzen oder die Modellierung biomedizinischer Vorgänge (z. B. Die Epilepsie). Neben der theoretischen Analyse der Modelle müssen diese mit den Meßergebnissen abgeglichen werden, was aufwendige Rechnersimulationen erfordert.
Die Entwicklung von effizienten Algorithmen ist Gegenstand Numerischen Mathematik. Neben Optimierungsproblemen werden vor allem Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen behandelt, insbesondere auch auf der Basis der in Köln begründeten Mehrgittermethoden.
Zu den historischen Wurzeln der Stochastik gehören so unterschiedliche Probleme wie die Frage nach Gewinnstrategien bei Glücksspielen, die Ermittlung eines "korrekten" Meßwertes aus einer fehlerbehafteten Meßreihe oder die Bestimmung des Wertes einer Leibrentenzusage. Diese Problemkreise stehen stellvertretend für die beiden wichtigsten Teilgebiete der Stochastik, die Wahrscheinlichkeitstheorie und die mathematische Statistik sowie für das Kölner Schwerpunktgebiet Versicherungsmathematik.
Grundlegend wichtig für das Mathematische Institut sind ein leistungsfähiges Computersystem, eine umfassende Bibliothek und die internationalen Kontakte.
Es gibt enge personelle Verknüpfungen mit dem Zentrum für Paralleles Rechnen, der Deutschen Gesellschaft für Luft- und Raumfahrt, der Gesellschaft für Mathematik und Datenverarbeitung und dem Max-Planck-Institut für Mathematik in Bonn. Enge Kontakte bestehen auch zu Versicherungen sowie zu den Firmen Bayer und Ford. Aufgrund der vielfältigen Ausbildung finden die Absolventen Einsatzmöglichkeiten in der Industrie, bei Software- und Unternehmensberatungsfirmen, bei Banken und Versicherungen sowie im schulischen und akademischen Bereich. Die Möglichkeit zum Erwerb praxisnaher Zusatzqualifikationen soll erweitert werden.
Das Institut pflegt wissenschaftliche Kontakte zu namhaften Forschungszentren und Universitäten im In- und Ausland. Es ist beteiligt am Graduiertenkolleg "Scientific Computing" sowie am DFG-Schwerpunktprogramm über Dynamische Systeme.