Grundlagenseminar: Einführung in die Sprachwissenschaft
Arbeitspapier: Semantik
Horst Lohnstein

Semantik

1.Aussagenlogik

In den folgenden Abschnitten betrachten wir die Beziehung zwischen sprachlichen Ausdrücken und der Welt und sehen uns dazu zunächst die einfachen (Aussage-) Sätze in (1) an.

Derartige Sätze analysieren wir zunächst nicht weiter, sondern fassen sie als elementare Aussagen auf. Als solche können diese Sätze entweder wahr oder falsch sein. Wenn z.B. in einer Weltsituation, in der ein brauner Hund den Hügel hinauf läuft, eine Person den Satz (1)(ii) äußert, dann ist dieser Satz wahr. Ist es hingegen nicht der Fall, daß ein brauner Hund den Hügel hinauf läuft, so ist der Satz (1)(ii) falsch.

Andere einfache Sätze wie die in (2) können nicht wahr oder falsch sein.

Der Satz (2)(i) ist eine Entscheidungsfrage, auf die mit Ja oder Nein geantwortet werden kann, während der Satz (2)(ii) eine Ergänzungsfrage ist, die beantwortet werden kann, indem man die Personen nennt, die schwimmen gehen wollen. Satz (2)(iii) ist ein Imperativsatz, auf den eine Handlung des Hörers erfolgt, und (2)(iv) ist ein Exklamativsatz, mit dem eine innere Befindlichkeit ausgedrückt werden kann. Diesen vier Sätzen ist gemeinsam, daß sie weder wahr noch falsch sein können. Da wir gerade nach den Wahrheitsbedingungen von Sätzen fragen, fallen sie nicht in den Bereich unseres Interesses.

Nun interessieren uns nicht nur einfache Sätze wie in (1), sondern auch komplexere Zusammenfassungen solcher Sätze wie in (3).

Wir wollen auch zu diesen z.T. koordinierten Sätzen feststellen können, unter welchen Bedingungen sie wahr oder falsch sind. Offensichtlich hängt diese Bewertung nicht ausschließlich davon ab, ob die einzelnen Sätze jeweils wahr oder falsch sind, sondern auch davon, welche Verbindung zwischen den jeweils verknüpften Sätzen besteht. So ist der Satz (3)(i) nur dann wahr, wenn sowohl Petra im Kino als auch Franz in der Kneipe ist, d.h. beide Teilsätze müssen wahr sein, damit auch der Gesamtsatz wahr ist. Bei dem Satz (3)(iv) ist dies aber anders. Hier genügt ein wahrer Teilsatz für die Wahrheit des Gesamtsatzes.

Der Satz (3)(ii) sieht zunächst wie ein einfacher Satz aus. Doch auch dieser Satz ist komplex, denn in ihm steckt der Teilsatz Peter kommt, und dieser Teilsatz wird negiert mit dem Wörtchen nicht. Wenn Peter tatsächlich kommt, dann ist der Satz Peter kommt wahr, der Satz Peter kommt nicht ist hingegen falsch.

Schwieriger als diese ersten Sätze ist der Satz (3)(iii) zu beurteilen. Er ist sicherlich wahr, wenn Franz tatsächlich Bier trinkt und Petra tatsächlich sauer ist. Der Satz ist aber sicherlich falsch, wenn Franz tatsächlich Bier trinkt, Petra aber nicht sauer ist. Wenn Franz kein Bier trinkt, Petra aber sauer ist und jemand äußert in dieser Situation (3)(iii), so ist dieser Satz hinsichtlich seines Wahr- bzw. Falschseins intuitiv schwierig zu beurteilen.

1.1 Syntax der Aussagenlogik

Uns interessiert nun, welche Auswirkung die Verwendung der unterschiedlichen Satzkonnektoren auf die Wahrheit des Gesamtsatzes hat. Um dies systematisch zu untersuchen, wollen wir zunächst festlegen, welche Menge von Sätzen wir überhaupt betrachten wollen. Nun haben wir in der Mengenlehre bereits unterschiedliche Verfahren kennengelernt, mit denen wir Mengen angeben können. Da es sich bei der Menge der einfachen und komplexen Sätze bereits um unendlich viele Sätze handelt, ist es prinzipiell unmöglich, alle Sätze aufzuschreiben. Wir wollen daher rekursiv definieren, welche Sätze Gegenstand unserer Untersuchung sind. Dazu geben wir zunächst an, was atomare Aussagen sind und legen fest, daß alle atomaren Aussagen zur Menge der wohlgeformten Formeln (wff) gehören. Sodann geben wir an, wann zwei wohlgeformte Formeln wieder eine wohlgeformte Formel ergeben. Und schließlich müssen wir noch festlegen, daß außer dem genannten nichts anderes eine wohlgeformte Formel ist. Damit haben wir ein syntaktisches System konstruiert, welches uns eine unendlich große Menge wohlgeformter Formeln definiert. Wir formulieren also rekursive Regeln für die Menge der wffn. Die Regelmenge nennen wir die Syntax der Aussagenlogik. Die einzelnen Regeln legen fest, in welcher Art und Weise einzelne Aussagen verknüpft werden können. Die atomaren Aussagen p, q, ... und die Konnektoren bilden das Vokabular der Aussagenlogik.

(4) Syntax der Aussagenlogik.

Dieses syntaktische System erlaubt uns u.a. die folgenden wohlgeformten Formeln zu bilden:

(5) p, (pÙq), ¬(p <-> q), ¬(¬r), ((((pÚq) Ù¬s)® r) <-> s)

Damit haben wir zunächst die syntaktische Struktur der Ausdrücke festgelegt, die wir betrachten wollen. Nun möchten wir darüberhinaus auch wissen, welche Wahrheitswerte diese komplexen Ausdrücke haben, d.h. wir fragen nach ihrer semantischen Struktur.

1.2. Semantik der Aussagenlogik

Um sicherzugehen, daß wir zu allen Ausdrücken eine semantische Struktur erhalten, müssen wir semantische Regeln angeben, die den syntaktischen Regeln zugeordnet sind, d.h. jedesmal, wenn eine syntaktische Regel angewendet wird, wird auch eine korrespondierende semantische Regel angewendet. Über diese Korrespondenz der Anwendungen von syntaktischen Regeln und semantischen Interpretationsregeln werden wir genau die Wahrheit bzw. Falschheit von komplexen Sätzen berechnen können. Da die wohlgeformten Formeln aus atomaren Aussagen und Verknüpfungen bestehen, gehen wir so vor, daß jeder atomaren Aussage ein Wahrheitswert zugeordnet wird. Als Wahrheitswerte wählen wir das Symbol 1 für eine wahre Aussage und das Symbol 0 für eine falsche Aussage.

Sodann müssen wir festlegen, welche Wahrheitsbedingungen die Konnektoren haben. Diese Festlegung geschieht durch sog. Wahrheitswert-Tabellen. In einer solchen Tabelle sind alle möglichen Kombinationen von Wahrheitswerten der beteiligten Aussagen erfaßt, und die Tabelle gibt jeweils an, bei welcher Verteilung sich welcher Wahrheitswert ergibt. Betrachten wir zunächst die einfache Tabelle für die Negation. Diese Tabelle ist deshalb unkompliziert, weil sich die Negation nur auf eine Aussage bezieht, wie wir aus den syntaktischen Regeln ersehen können. Die vier anderen Konnektoren beziehen jeweils zwei Aussagen aufeinander.

Wenn wir untersuchen wollen, was die Bedeutung der Negation einer Aussage ist, so sind zwei Fälle zu unterscheiden. Eine Aussage kann entweder wahr oder falsch sein. Wenn eine Aussage wahr ist, so ist ihre Negation falsch; und wenn eine Aussage falsch ist, so ist ihre Negation wahr. Wenn z.B. die Aussage Paul ist in Rom wahr ist, d.h. daß Paul tatsächlich in Rom ist, dann ist die negierte Aussage Paul ist nicht in Rom oder Es ist nicht der Fall, daß Paul in Rom ist falsch. Ist die Aussage Paul ist in Rom falsch, d.h. daß sich Paul tatsächlich nicht in Rom aufhält, dann ist die negierte Form dieser Aussage, nämlich Paul ist nicht in Rom oder Es ist nicht der Fall, daß Paul in Rom ist, wahr. Die Eigenschaft der Negation scheint also zu sein, daß sie die Wahrheit von Aussagen gerade in ihr Gegenteil verkehrt. Diesen Sachverhalt drücken wir nun in der folgenden Wahrheitswert-Tabelle aus.

(6) Negation:

In der ersten Spalte von (6) stehen die beiden möglichen Wahrheitswerte, die die Aussage p annehmen kann. In der zweiten Spalte stehen die Wahrheitswerte, die die Formel ¬p hat, wenn p den Wert in der ersten Spalte annimmt. Damit haben wir zu der ersten syntaktischen Regel eine semantische Regel formuliert.

Dies wollen wir nun auch für die zweite syntaktische Regel vornehmen. Die Konjunktion verbindet zwei Aussagen miteinander, etwa die Aussage p = Peter ist in Rom und die Aussage q = Maria ist in Paris. Wann ist demnach die Aussage Peter ist in Rom und Maria ist in Paris wahr bzw. falsch? Nun, wenn Peter tatsächlich in Rom ist und wenn Maria tatsächlich in Paris ist, dann ist diese Aussage wahr. Wenn aber Peter nicht in Rom ist, Maria hingegen in Paris ist, dann ist die Aussage falsch. Genauso verhält es sich, wenn Peter tatsächlich in Rom, Maria aber tatsächlich irgendwo anders als in Paris ist. Die Aussage ist auch falsch, wenn sowohl Peter tatsächlich nicht in Rom, und Maria tatsächlich nicht in Paris ist. Wir müssen also, wenn wir alle Fälle berücksichtigen wollen, eine Wahrheitswert-Tabelle mit vier Zeilen aufstellen. Jede Zeile enthält eine mögliche Verteilung der Wahrheitswerte der beiden Aussagen.

(7) Konjunktion:

Damit haben wir auch für die zweite syntaktische Regel eine semantische Regel formuliert.

Die Zeilenanzahl einer Wahrheitswert-Tabelle ist abhängig von der Anzahl der auftretenden Variablen. Hat man eine Verknüpfung mit drei Variablen, so erhöht sich die Zeilenanzahl auf acht, bei vier Aussagen auf sechzehn usw. Die Anzahl der Zeilen einer Wahrheitswert-Tabelle läßt sich berechnen, wie in (8) angegeben.

(8) Wenn eine komplexe Formel n verschiedene Aussagen enthält, so ist die Anzahl der Zeilen für die Wahrheitswert-Tabelle dieser Formel gleich 2ⁿ.

Die Disjunktion entspricht der Verknüpfung mit 'oder'. Diese Art der Verbindung zweier Aussagen hat andere Wahrheitsbedingungen als die Verknüpfung mit der Konjunktion 'Ù'. Wäre dies nicht so, so würde 'oder' das gleiche bedeuten wie 'und'.

Betrachten wir nochmals die beiden Aussagen p = Peter ist in Rom und q = Maria ist in Paris. Die Aussage Peter ist in Rom oder Maria ist in Paris ist offensichtlich wahr, wenn Peter tatsächlich in Rom und zugleich Maria tatsächlich in Paris ist. Dabei setzen wir voraus, daß das einschließende 'oder' gemeint ist, das mit vel ins Lateinische übersetzt wird, und nicht das ausschließende entweder oder, das mit aut zu übersetzen ist. Im Deutschen haben beide Bedeutungen nur eine Lautform. Die komplexe Aussage ist -im Gegesatz zur Konjunktion- aber auch dann wahr, wenn nur eine der beiden beteiligten Aussagen wahr ist. Wenn also nur Peter tatsächlich in Rom ist, Maria aber in London, dann ist die Gesamtaussage in diesem Fall genauso wahr, als wenn Peter tatsächlich in London, Maria aber in Paris ist. Nur wenn beide Teilaussagen falsch sind, wird auch deren Verknüpfung mit 'Ú' falsch. Wenn also weder Peter in Rom noch Maria in Paris ist, so ist die Gesamtaussage falsch. Wir erhalten damit die Wahrheitswert-Tabelle für die Disjunktion in (9).

(9) Disjunktion:

Die wenn ... dann ...-Beziehung wird Konditional '®' genannt, und sie verknüpft ebenfalls zwei Aussagen. Nur sind die Wahrheitswert-Verteilungen bei dieser Verknüpfung nicht so leicht ausfindig zu machen. Wenn wir wieder die beiden Aussagen p = Peter ist in Rom und q = Maria ist in Paris betrachten, so sagt uns unser intuitives Verständnis, daß, wenn beide Aussagen wahr sind, auch die wenn...dann...-Verknüpfung wahr ist. Wenn es also wahr ist, daß Peter in Rom und Maria in Paris ist, dann ist die Aussage Wenn Peter in Rom ist, dann ist Maria in Paris wahr. Und ähnlich plausibel erscheint es uns, daß diese Aussage falsch ist, wenn Peter in Rom, Maria aber nicht in Paris ist.

Problematisch wird die Bewertung, wenn die Aussage p falsch ist. Wenn Peter tatsächlich nicht in Rom, Maria aber tatsächlich in Paris ist, und irgendjemand sagt, Wenn Peter in Rom ist, dann ist Maria in Paris, dann scheint dieser Satz zunächst falsch zu sein. Tatsächlich können wir aber gar nicht genau sagen, was er bedeutet. Denn wenn wir von einer Voraussetzung ausgehen, die falsch ist, dann kann daraus alles mögliche folgen. Wenn etwa 2 x 2 = 5 ist, dann wissen wir einfach nicht, wie die Welt beschaffen ist, so daß die Aussage Es gibt zehn Päbste wahr sein könnte. In der Tat scheinen unsere Intuitionen bzgl. der Aussage wenn p, dann q zu versagen, wenn p falsch ist. Solange wir aber nur zwei Möglichkeiten zur Auswahl haben, nämlich wahr oder falsch, müssen wir uns für eine der beiden entscheiden. Da es -wie wir später noch sehen werden- gute Gründe dafür gibt, dem Konditional bei falschem Vordersatz den Wert wahr zuzuordnen, wollen wir die Wahrheitswert-Tabelle entsprechend festlegen.

(10) Konditional:

Wenn wir den nächsten Konnektor, das Bikonditonal '<->' diskutiert haben, werden wir sehen, daß diese Festsetzung durchaus vernünftig war. Das Bikonditional läßt sich im Deutschen auch mit genau dann, wenn paraphrasieren. Des Ausdruck p <-> q entspricht einer zweifachen Verwendung des Konditionals, nämlich: p ® q und q ® p. Das Bikonditional ist also ein Konditional in beide Richtungen. Eine Aussage, die aus zwei mit demn Bikonditional verknüpften Aussagen gebildet ist, ist genau dann wahr, wenn beide Ausagen den gleichen Wahrheitswert haben. Dies führt zu der Wahrheitswert-Tabelle in (11).

(11) Bikonditional:

Mit den fünf verschiedenen Wahrheitswert-Tabellen haben wir zu jeder syntaktischen Regel eine semantische Regel formuliert, so daß wir nun zu einer beliebig komplexen Formel, die unser syntaktischer Apparat erzeugt, auch die Wahrheitswerte angeben können.

Wir gehen von der syntaktischen Struktur der Formel aus und berechnen an jedem Knoten dieser Struktur die Wahrheitswerte.

Der Ausdruck ((p Ú q) ® ¬(p Ù q)) ist sicherlich eine wohlgeformte Formel. Wie lassen sich zu dieser Formel die Wahrheitsbedingungen angeben? Wir müssen alle Kombinationen von Wahrheitswertverteilungen für p und q betrachten und diese für die einzelnen Verknüpfungen aus den jeweiligen Wahrheitswert-Tabellen entnehmen. Dazu benötigen wir aber die syntaktische Struktur des Ausdrucks, der ja auch schon durch die Klammerung sichtbar wird, den wir aber nochmals als Baumstruktur darstellen wollen.

(12)

Um die Wahrheitsbedingungen am obersten Knoten dieses Baumes zu berechnen, beginnen wir bei den atomaren Aussagen und prüfen die Wahrheitsbedingungen an allen Knoten von unten nach oben. Wir folgen dabei der Strategie, daß wir zunächst die Wahrheitswerte der weniger komplexen Teilausdrücke berechnen und diese sodann nach den Wahrheitswert-Tabellen der jeweiligen Konnektoren aufeinander beziehen. Dazu betrachten wir die folgende Tabelle, in der jedem einzelnen Knoten eine Spalte zugeordnet ist. In diesen Spalten stehen die Wahrheitswerte, die an den Knoten jeweils unter allen möglichen Ausgangswerten von p und q auftreten.

(13)

In der untersten Zeile stehen die Spaltennummern, die den Knotennummern in dem Baum in (12) entsprechen. Um zu sehen, welche Wahrheitswerte an den Baumknoten in Abhängigkeit von den Wahrheitswerten von p und q auftreten, betrachtet man zu jedem Knoten im Baum (12) die zugehörige Spalte in der Tabelle (13). In den Spalten (1) und (2) stehen die möglichen Wahrheitswert-Verteilungen für p und q. Da wir die Kombinatorik von zwei Aussagen betrachten, die jeweils zwei mögliche Wahrheitswerte annehmen können, ergeben sich also vier Zeilen.

Die Spalten (3) und (4) sind identisch mit den Wahrheitswert-Tabellen für die Disjunktion und die Konjunktion. Spalte (5) enthält die Werte für die negierte Spalte (4); und Spalte (6) gibt an, welchen Wahrheitswert die Gesamtformel -abhängig von den Wahrheitswerten von p und q- jeweils hat. Spalte (6) zeigt also, daß die Gesamtformel falsch ist, wenn p und q wahr sind, und daß sie in allen anderen Fällen wahr ist.

Mit Hilfe der Wahrheitswert-Tabellen lassen sich die Wahrheitswerte komplexer aussagenlogischer Formeln systematisch ermitteln. Der Wahrheitswert der Gesamtformel ist dabei stets abhängig von den Ausgangs-Wahrheitswerten der beteiligten atomaren Aussagen. Man spricht daher auch von den Wahrheitsbedingungen einer aussagenlogischen Formel.

Wir kommen nun auf das Konditional zurück und wollen die Festlegung seiner Wahrheitswert-Tabelle mit Bezug zum Bikonditional motivieren. Das Bikonditional p <-> q drückt ja aus, daß p ®  q und q ®  p zugleich gelten, so daß die beiden Formeln in (14) bei gleicher Anfangsbelegung für p und q die gleichen Wahrheitswerte haben sollten.

(14)

Dies prüfen wir einfach anhand der Tabelle in (15) nach.

(15)

Ein Vergleich der Spalten (3) und (6) zeigt, daß beide Formeln tatsächlich zu den gleichen Wahrheitswerten führen. Nehmen wir nun an, daß wir das Konditional anders definiert hätten, nämlich wie in (16).

(16) ungünstige Definition des Konditionals:

Dann sollten die Spalten (3) und (6) ebenfalls identisch sein. Dies ist, wie wir der Tabelle in (17) entnehmen können, aber nicht der Fall, da in der vierten Reihe zwischen den Spalten (3) und (6) keine Übereinstimmung besteht.

(17)

Die Tabelle ist also hinsichtlich unserer Intuition in den Spalten (3) und (6) kontraintuitiv. Nun ließe sich einwenden, daß der Unterschied in diesen Spalten dadurch behoben werden kann, daß das Konditional auch in der vierten Reihe den Wert 1 annimmt, so daß wir die Tabelle in (18) erhalten würden.

(18) ebenfalls ungünstige Definition des Konditionals:

Diese Definition führt aber zur Ununterscheidbarkeit von Konditional und Bikonditional, so daß auch diese Definition nicht sinnvoll sein kann. Als letzte Möglichkeit verbleibt die Definition in (19), für die wir aber schon in Tabelle (17) gesehen haben, daß sie in der vierten Reihe zu kontraintuitiven Resultaten führt.

(19) ebenfalls ungünstige Definition des Konditionals:

Wir können also festellen, daß für die Fälle mit falschem Vordersatz keine Änderung in der Festlegung der Wahrheitswert-Tabelle des Konditionals vorgenommen werden kann, ohne daß kontraintuitive Ergebnisse auftreten.

1.3. Tautologien, Kontradiktionen und Kontingenzen.

Es gibt Formeln, deren Wahrheitswerte unabhängig von der Ausgangswerten der beteiligten Aussagen stets gleich sind, d.h. solche Formeln sind unter allen Anfangsbelegungen der Teilausdrücke stets nur wahr oder nur falsch.

Der Satz Es regnet oder es regnet nicht ist tautologisch. Wenn wir den Satz Es regnet mit p bezeichnen, so läßt sich der komplexe Satz in die folgende Formel übersetzen: p Ú ¬p. Wie wir aus der Tabelle ersehen können, enthält die letzte Spalte nur 1-en, und die Formel ist nach (20)(i) eine Tautologie.

(21)

Der Satz Es regnet und es regnet nicht ist hingegen kontradiktorisch. Dieser Satz wird mit dem Konnektor 'Ù' übersetzt: p Ù ¬p. Aus der letzten Spalte der Wahrheitswert-Tabelle läßt sich nach (20)(ii) ablesen, daß es sich um eine Kontradiktion handelt. Die beiden mit 'Ù' verknüpften Sätzen können nicht gleichzeitig wahr sein.

(22)

Der Satz Es regnet und die Sonne scheint ist kontingent. Denn wenn wir den Satz Es regnet mit p bezeichnen und den Satz Die Sonne scheint mit q, so erhalten wir die folgende Wahrheitswert-Tabelle für den komplexen Satz:

(23)

Nach (20)(iii) ist dieser Satz eine Kontingenz, da in der letzten Spalte sowohl 1-en als auch 0-en auftreten. Die Wahrheit dieses Satzes hängt also von den anfänglichen Wahrheitswerten von p und q ab.

2. Prädikatenlogik

2.1. Prädikate und Valenz

Wir haben bisher betrachtet, wie vollständige Aussagen verknüpft werden können und wie sich der Wahrheitswert von komplexen Aussagen mittels der Wahrheitswert-Tabellen der verknüpfenden Konnektoren ermitteln läßt. Nun wissen wir aber auch, daß Aussagen bzw. vollständige Sätze nicht die kleinsten sprachlichen Einheiten sind, sondern daß diese durch Kombination von kleineren Einheiten aufgebaut werden. Solche kleineren Einheiten sind etwa die Wörter. Wenn wir z. B. den Satz (1) betrachten, so können wir feststellen, daß dieser Satz aus sieben Wörtern besteht, die auf eine ganz bestimmte Art geordnet sind.

(1) Ein blauer VW steht an der Straßenecke.

Wir stellen auch fest, daß das Wort Straßenecke aus zwei Wörtern besteht, die wir aber als zusammengehörig betrachten. Offensichtlich lassen sich in natürlichen Sprachen Wörter zu neuen Wörtern verbinden. Das soll uns aber im weiteren nicht interessieren. Wir fragen vielmehr danach, ob es zwischen den Einheiten der Wörter und der Sätze noch andere Einheiten gibt, die wir so ohne weiteres nicht sehen. Die Antwort auf die Frage, ob es diese Einheiten gibt, lautet: Ja. Welche Einheiten sind dies? Nun, wir können mit dem Satz anfangen zu spielen, indem wir versuchen, Wörter oder Wortgruppen umzustellen. Dabei fällt uns zuerst auf, daß durch eine bestimmte Umordnung auch wieder ein Satz entsteht.

(2) An der Straßenecke steht ein blauer VW.

Dieser Satz bedeutet in etwa dasselbe wie der erste Satz. Wenn wir nun versuchen, weitere Umstellungen vorzunehmen, so bemerken wir, daß dies nicht mehr funktioniert. Die folgenden Umstellungen führen nicht wieder zu deutschen Sätzen.

usw.

Offensichtlich erlauben nur ganz bestimmte Wortgruppen oder Wörter, daß man sie umstellt, so daß immer noch ein richtiger Satz entsteht. Diese Wortgruppen nennt man auch Konstituenten. In dem angegebenen Satz sind offensichtlich die Wortgruppen ein blauer VW und an der Straßenecke Konstituenten. Wir haben also festgestellt, daß zwischen der Wort- und der Satzebene weitere Einheiten existieren, obwohl unsere Schrift- und Lautsprache dies nicht direkt sichtbar werden läßt.

Wir fragen nun danach, welche Verbindung zwischen den verschiedenen Konstituenten eines Satzes besteht und wodurch diese Verbindung hergestellt wird. In unserem Beispielsatz ist außer den beiden Konstituenten noch ein Verb enthalten. Dieses Verb heißt stehen und bezeichnet den Zustand, daß irgendetwas irgendwo steht. Das irgendetwas ist in unserem Satz ein blauer VW und das irgendwo ist an der Straßenecke. Der Ausdruck ein blauer VW bezeichnet ein Objekt und der Ausdruck an der Straßenecke bezeichnet eine Lokalität, und offensichtlich stellt das Verb stehen einen Bezug zwischen dem Objekt und der Lokalität dar, so daß der ganze Satz oder die Aussage einen Zustand beschreibt. Wir wollen sagen, daß das Verb stehen eine Relation zwischen einem Objekt und einer Lokalität darstellt und daß diese Relation die Relation des Stehens ist. Wenn wir in dem Beispielsatz das Verb stehen durch das Verb parken ersetzen, so bedeutet der Satz fast wieder das gleiche, allerdings ist es jetzt die Relation des Parkens, die zwischen einem blauen VW und der Straßenecke ausgedrückt wird.

Wir kennen nun eine ganze Menge deutscher Verben, und alle stellen Relationen zwischen unterschiedlichsten Objekten, Individuen, Lokalitäten, Zeiten usw. her. Hier sind einige weitere Beispiele:

Das Verb streicheln stellt eine Relation zwischen dem Opa und der Katze dar; nämlich, daß der Opa die Katze streichelt und sie nicht etwa schlägt, verjagt, tritt oder sonst irgendetwas. All diese Verben sind transitiv und stellen als solche zweistellige Relationen zwischen zwei Argumenten her.

Das intransitive Verb schlafen ist einstellig, d.h. es benötigt nur ein Argument, in unserem Fall die Oma. Das bitransitive Verb schenken hingegen ist dreistellig. Es drückt eine Relation zwischen drei Argumenten aus, nämlich dem Fußballspieler, der schenkt, Maria, die beschenkt wird und einem Luftballon, der verschenkt wird. Eine etwas andere Relation stellt das Verb behaupten her. Hier handelt es sich um die Relation zwischen einem Individuum, das etwas behauptet und einer Aussage, die behauptet wird.

Offensichtlich ist es so, daß die unterschiedlichen Verben ein- oder mehrstellige Relationen ausdrücken, und daß ein Satz dann vollständig ist, wenn alle Stellen der Relation auch besetzt sind. Der Teilsatz (5) ist unvollständig, da eine Argumentstelle des Verbs schenken nicht besetzt ist.

(5) ^*Der Fußballspieler schenkt Maria

In diesem Sinne erfordert die Verwendung bestimmter Verben auch immer eine bestimmte Realisierung von Argumenten. Die Anzahl und die Art der geforderten Argumente nennt man die Valenz eines Verbs. Wenn von Valenz die Rede ist, so verwendet man auch den Begriff Prädikat und spricht von ein-, zwei- oder dreistelligen Prädikaten.

Wir können feststellen, daß nicht nur Verben eine bestimmte Valenz haben, sondern auch Präpositionen, Adjektive und auch Nomina. Dazu betrachten wir die Beispiele in (6).

(6)

Im weiteren wird uns aber vor allem die Valenz von Verben interessieren. Von ihrer Bedeutung her lassen sich dabei grob die folgenden Klassen unterscheiden:

(7)

Wir wollen im folgenden sagen, daß Verben Prädikate sind, die eine bestimmte Anzahl von Argumenten verlangen, und daß ein vollständiger Satz dann vorliegt, wenn die Argumentstellen des Prädikats gesättigt sind, d.h. wenn zu jeder Argumentstelle des Prädikats auch genau ein Argument existiert. Wenn dies der Fall ist, so liegt eine vollständige Aussage vor wie in den folgenden Sätzen.

Nun kann aber zu dem Verb sinken nicht nur die spezielle Nominalphrase der Öltanker als Argument fungieren, sondern auch beliebige andere Nominalphrasen, wie etwa die Fähre, der Stein, das Schiff usw., d.h. das Verb sinken läßt eine Vielzahl anderer Nominalphrasen als Argumente zu. Wollen wir nun eine Darstellungsweise für das Verb sinken finden, die einerseits ausdrückt, daß dieses Verb ein Argument nimmt, also ein einstelliges Prädikat ist, andererseits aber nicht festgelegt werden soll, wie dieses spezielle Argument aussieht, so müssen wir diesem Verb einen Platzhalter für ein Argument zuweisen. Dies können wir etwa folgendermaßen darstellen:

Das x ist eine Variable, und diese hält den Platz für ein Argument frei, so daß diese Darstellung bedeutet, daß sinken ein einstelliges Prädikat ist und genau ein Argument verlangt. Sie bedeutet aber auch, daß dieses Argument ein beliebiges sein kann. Für x kann also irgendeine Nominalphrase eingesetzt werden. Die beiden Darstellungsarten in 1) und 2) drücken im wesentlichen dasselbe aus. Wir wollen jedoch im weiteren die zweite Art der Darstellung bevorzugen, weil sie eine hergebrachte Art ist, Funktionen zu schreiben. Wie wir im weiteren Verlauf noch sehen werden, ist dies eine sehr nützliche Darstellungsweise.

Ganz genauso kann man nun mit zweistelligen Prädikaten verfahren. Dabei müssen wir zwei Variablen als Platzhalter für die Argumente einsetzen:

Für dreistellige Prädikate verfahren wir ganz ähnlich, nur setzen wir nun drei Variablen als Platzhalter ein:

Jedes Prädikat hat also eine feststehende Anzahl von Argumenten, die durch Variablen angegeben werden. Die Sequenz dieser Variablen wird gelegentlich auch als Argumentstruktur des Prädikats bezeichnet. Wir können nun sagen, daß eine vollständige Aussage vorliegt, wenn für alle Variablen Argumente eingesetzt sind.

Das Verb singen etwa hat eine Variable und benötigt daher ein Argument. Wenn dieses Argument z.B. Peter ist, so wird die Variable durch dieses Argument ersetzt, und der Ausdruck sieht aus wie in (12).

(12) singen(Peter)

Dies bedeutet soviel, wie Peter singt.

Bei dem Verb küssen mit zwei Variablen müssen entsprechend zwei Argument eingesetzt werden. Wenn also Peter Maria küßt, so läßt sich dies so darstellen wie in (13).

(13) küssen(Peter, Maria)

Vertauscht man die beiden Argumente hinsichtlich ihrer Reihenfolge, so erhält man (14).

(14) küssen(Maria, Peter)

Das heißt dann soviel, wie Maria küßt Peter. Die Reihenfolge der Argumente spielt also eine wesentliche Rolle, für die Bedeutung eines Satzes. Im folgenden werden wir sehen, daß in deutschen Sätzen nicht nur die Reihenfolge der Argumente von Belang ist, sondern auch deren hierarchische Struktur.


2.2. Kompositionalität

In diesem Abschnitt wollen wir erörtern, auf welche Weise es möglich ist, daß wir als kompetente Sprecher einer natürlichen Sprache aus einer endlichen Anzahl von Wortbedeutungen unendlich viele komplexe Bedeutungen zusammenstellen können. Dazu betrachten wir nochmals kurz unser Vorgehen in dem Kapitel über Aussagenlogik. Dort haben wir ja einfache Aussagen als atomare Einheiten betrachtet. Die Syntax dieses Systems enthielt Regeln, die einfache Aussagen mit Hilfe von Satzkonnektoren zu komplexeren Aussagen verbindet. Die Semantik des Systems wurde durch Wahrheitswert-Tabellen angegeben, die den semantischen Wert der Konnektoren festlegten. Zu jeder syntaktischen Regel, die zwei Aussagen mit einem Konnektor verbindet, wurde eine semantische Regel (Wahrheitswert-Tabelle) angegeben, die den semantischen Wert der komplexeren Konstruktion bestimmt. Dabei entsprach jeder syntaktischen Regel genau eine semantische Regel.

Bei der Konstruktion dieser Logiksprache sind wir so vorgegangen, daß wir zunächst ein Lexikon mit Basiseinheiten (atomaren Aussagen) angelegt haben. Sodann haben wir eine Syntax formuliert, die die Struktur von komplexeren Aussagen festlegt, und schließlich haben wir die semantische Interpretation für die Konnektoren angegeben. Wir waren damit in der Lage, aufgrund der syntaktischen Regeln beliebig komplexe Aussagenverknüpfungen zu bilden, und da jeder syntaktischen Regel genau eine semantische Interpretation entsprach, konnten wir auch den semantischen Wert der komplexen Aussagen berechnen. Auf diese Art und Weise war es möglich, die Struktur und die Bedeutung komplexer Ausdrücke kompositionell herzuleiten. Daß Kompositionalität auch in natürlichen Sprachen gelten muß, läßt sich leicht an einem Beispiel erörtern. Betrachten wir etwa den folgenden Satz, von dem wir sicherlich annehmen können, daß wir ihn bisher noch nie gehört haben.

(15) Ein rot-weiß karierter Zwerg sitzt auf der Tragfläche eines Flugzeugs und spielt Flöte.

Dennoch versteht jeder Sprecher des Deutschen diesen Satz, insofern er das (mentale) Bild einer virtuellen Realität entwerfen kann, in dem tatsächlich ein rot-weiß- karierter Zwerg flötespielend auf der Tragfläche eines Flugzeugs sitzt. Die Fähigkeit, dieses mentale Bild zu konstruieren, wollen wir so beschreiben, daß ein kompetenter Sprecher die Bedingungen kennt, die erfüllt sein müssen, damit ein Satz wahr ist. Aus der Kenntnis dieser Bedingungen kann er sowohl entscheiden, ob ein Satz in der realen Welt wahr ist, als auch eine virtuelle Welt konstruieren, in der der Sachverhalt, den dieser Satz ausdrückt, besteht. Offensichtlich läßt sich die Bedeutung eines Satzes in einer bestimmten Art und Weise aus den einzelnen Wörtern kompositionell zusammenfügen. Dabei spielt aber nicht nur die Bedeutung der einzelnen Wörter eine Rolle, sondern ganz wesentlich die syntaktische Struktur des Satzes. Diese Einsicht hat in der Geschichte der Philosophie eine längere Tradition, die wohl mit den Ideen von Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) beginnt. Leibniz hatte den für seine Zeit revolutionären Gedanken, daß es möglich sein müsse, ein Denkverfahren zu finden, das sogar unabhängig von den Bedeutungen der einzelnen Elemente die Richtigkeit einer Gedankenkette nur aufgrund der formalen Beziehungen zwischen den Elementen abzuleiten gestatte. Diese Idee lag annähernd drei Jahrhunderte brach, bis sie von dem Logiker und Philosoph Gottlob Frege (1848-1925) aufgegriffen und bei der Abfassung der Begriffsschrift (1879) konsequent zur Anwendung kam. Heute ist diese Einsicht unter dem Namen Fregesches Kompositionalitäts-Prinzip oder kurz: Frege-Prinzip bekannt. Wir formulieren es in (16).

Eine einfache Illustration verdeutlicht die Wirkungsweise dieses Prinzips. Die zwei folgenden Aussagen bestehen aus den gleichen Basiseinheiten 'p, q, Ú, ¬', haben aber verschiedene syntaktische Strukturen. Aufgrund dieses Unterschieds ergeben sich für die beiden Ausdrücke unterschiedliche semantische Werte.

(17) ¬(p Ú q)

(18) (¬p) Ú q

Die Aussage in (17) ist genau dann wahr, wenn sowohl p als auch q falsch sind, während die Aussage in (18) auch dann wahr ist, wenn q wahr ist. Es genügt zur Festlegung des semantischen Werts komplexer Ausdrücke also nicht, nur die semantischen Werte der einzelnen Bestandteile zu beachten, sondern wir müssen auch die Struktur des gesamten Ausdrucks berücksichtigen. Je nach Klammerung ergeben sich die beiden folgenden Strukturen.

(19)

Obwohl beide Ausdrücke aus den gleichen Einheiten, nämlich p, q, ¬ und Ú aufgebaut sind, haben sie doch verschiedene Wahrheitswerte. Diese Tatsache überprüft man leicht, indem man zu den Formeln die Wahrheitswert-Tabellen angibt, und die beiden letzten Spalten miteinander vergleicht.

(20)

Wie wir sehen, unterscheiden sich die Wahrheitswerte der beiden Ausdrücke. Insofern wir aber identische Teilausdrücke verwendet haben, kann der Unterschied allein aus der jeweils voneinander abweichenden Struktur der Sätze resultieren.

Derartige Erscheinungen lassen sich an bestimmten Sätzen der deutschen Sprache deutlich machen, die man strukturelle Ambiguitäten (strukturelle Mehrdeutigkeiten) nennt. Der Satz in (21) kann auf unterschiedliche Weise interpretiert werden, wobei für jede Interpretation das syntaktische System des Deutschen eine strukturelle Option zur Verfügung stellt.

(21) Der Mörder erwürgte den Mann mit der roten Krawatte.

Zum einen kann (21) bedeuten, daß der Mann, der erwürgt wurde, eine rote Krawatte trug. Wir können (21) aber auch so verstehen, daß der Mann, mit Hilfe einer roten Krawatte erwürgt wurde. Der Satz kann also auf zwei verschiedene Arten interpretiert werden, obwohl die verwendeten Wörter jeweils dieselben sind. Offensichtlich muß für die Festlegung der Bedeutung noch etwas anderes im Spiel sein als die Bedeutungen der einzelnen Wörter, und das ist eben genau die syntaktische Struktur. In der ersten Bedeutung ist die Präpositionalphrase mit der roten Krawatte syntaktisch ein Präpositional-Attribut zu der Nominalphrase den Mann. In der zweiten Bedeutung ist diese Präpositionalphrase syntaktisch ein Adverb, welches das Verb erwürgen modifiziert. Nun können wir feststellen, daß eine Interpretation stets von einer syntaktischen Struktur gestützt werden muß, denn nur wenn die syntaktischen Regeln einen bestimmten Bezug zwischen zwei Satzteilen herzustellen erlauben, ist auch eine entsprechende Interpretation möglich. Wird der Mörder-Satz z.B. so geäußert, daß das Objekt mit dem Präpositional-Attribut an den Satzanfang gestellt ist, so fällt eine Interpretation weg.

(22) Den Mann mit der roten Krawatte erwürgte der Mörder.

(22) können wir nur noch so verstehen, daß der Mann, der erwürgt wurde, eine rote Krawatte trug. Bei einer anderen Umstellung ist die Interpretation möglich, daß der Mörder die rote Krawatte trägt, aber auch, daß der Mann mit Hilfe einer roten Krawatte erwürgt wurde. Es entfällt jedoch gerade die Deutung von dem Mann als Träger der roten Krawatte.

(23) Den Mann erwürgte der Mörder mit der roten Krawatte.

Fügt man außerdem noch ein Element in diesen Satz ein, welches die Nominalphrase den Mörder von der Präpositionalphrase mit der roten Krawatte syntaktisch trennt, so ist nur noch die Interpretation als adverbielle Angabe möglich.

(24) Den Mann erwürgte der Mörder brutal mit der roten Krawatte.

Wie wir an diesen Beispielen sehen, spielt die syntaktische Struktur eine ganz wesentliche Rolle für die Interpretation. Eine Aufgabe der semantischen Theorie wird also darin bestehen, gerade diese syntaktischen Bezüge zwischen den verschiedenen Phrasen eines Satzes zu interpretieren. Da die Syntax kompositionell ist, muß auch die Semantik kompositionell sein.

In der Aussagenlogik haben wir als semantische Werte für die atomaren Aussagen stets alle möglichen Verteilungen von Wahrheitswerten herangezogen und konnten dann mit Hilfe der Wahrheitswert-Tabellen für die jeweiligen Konnektoren den semantischen Wert des Gesamtausdrucks berechnen. Wir haben bei diesem Verfahren nicht die Frage gestellt, wie die Wahrheitswerte für einfache Aussagen kompositionell zustandekommen, d.h. wir haben nicht danach gefragt, in welchem Verhältnis die Teilausdrücke eines Satzes zu den Bausteinen von Situationen in der Welt stehen. Wir sind ja nur davon ausgegangen, daß eine Aussage wahr sein kann oder falsch, und dabei haben wir die Prädikat-Argument-Struktur der Aussagen gänzlich ignoriert. Es ist aber klar, daß sowohl die Prädikate als auch die einzelnen Argumente für sich alleine betrachtet eine Bedeutung haben, und daß diese einzelnen Bedeutungen zu komplexen Bedeutungen zusammengesetzt werden können. Weiterhin müssen wir auch darüber nachdenken, welcher Bezug zwischen der Sprache und der Welt besteht, da wir mit sprachlichen Ausdrücken über die Welt reden.

Mit einem Wort wie Haus bezeichnen wir eine Klasse von Objekten in der Welt mit ganz bestimmten Eigenschaften. Mit einer Nominalphrase wie dieses Haus bezeichnen wir ein ganz bestimmtes Objekt dieser Klasse, auf das wir auch deiktisch verweisen können, d.h. durch Hinzufügen des Demonstrativpronomens dieses wählen wir aus der Klasse von Objekten, die durch den Ausdruck Haus bezeichnet werden, ein eindeutig identifizierbares Objekt aus. Über dieses Objekt können wir weitere Angaben machen, etwa, daß es brennt, auf einem Hügel steht oder aus Backsteinen gemauert ist. Für jede dieser Angaben verwenden wir andere Wörter oder Wortgruppen und charakterisieren damit unterschiedliche Situationen oder Zustände in der Welt, und wir wollen verstehen, welche Bedingungen erfüllt sein müssen, damit eine Aussage wahr ist. Dazu betrachten wir den Satz (25).

(25) Das Haus steht auf dem Hügel

(25) ist genau dann wahr, wenn das Haus, auf das wir uns mit der Nominalphrase das Haus beziehen, tatsächlich auf dem Hügel steht, den wir mit dem Ausdruck den Hügel bezeichnen. Steht dieses Haus hingegen in einem Tal, so ist der geäußerte Satz falsch. Die Wahrheit bzw. Falschheit von Aussagen charakterisiert demnach ein Verhältnis zwischen der Sprache und der Welt, und wir werden im folgenden die Bedingungen formulieren, die erfüllt sein müssen, damit eine Aussage wahr ist.


2.3. Denotation

In der Aussagenlogik haben wir die Kombinatorik und Interpretation komplexer Aussagen behandelt, die aus elementaren Aussagen und Konnektoren gebildet wurden. Als semantischen Wert einer Aussage haben wir einen Wahrheitswert (wahr oder falsch, d.h. ein Element aus der Menge {0, 1}) angenommen. Wenn nun eine Aussage aus verschiedenen Prädikaten und Argumenten zusammengesetzt ist, wird ihr Wahrheitswert gemäß dem Kompositionalitätsprinzip aus den semantischen Werten (die nicht notwendigerweise Wahrheitswerte sein müssen) der Teilkomponenten der Struktur errechnet.

Wie ergibt sich aber die Bedeutung eines komplexen Ausdrucks aus den Bedeutungen der Teilkomponenten? Diese Frage ist nicht leicht zu beantworten. Wir können uns dem Problem aber so nähern, daß wir uns klar machen, worin denn eigentlich die semantische Kompetenz von Sprechern einer Sprache besteht. Diese sind offenbar in der Lage, in Kenntnis einer gewissen Situation in der Welt zu entscheiden, ob eine Aussage über diese Welt zutreffend ist oder nicht. Und indem sie dies können, vermögen sie, eine Aussage über die Welt mit der Welt selbst zu vergleichen, und sie können feststellen, ob die Aussage einen Sachverhalt ausdrückt, der in der Welt tatsächlich besteht oder nicht. Was damit aber offensichtlich zur semantischen Kompetenz gehört, ist die Fähigkeit, die Wahrheit von Aussagen relativ zu den Gegebenheiten in der Welt zu bewerten. Wir wollen also davon ausgehen, daß unsere semantische Kompetenz so beschaffen ist, daß wir die Bedeutung eines Satzes auf eine Situation in der Welt beziehen können. Unter dieser Annahme ließe sich der Begriff Bedeutung etwa so charakterisieren:

(26) Die Bedeutung eines Satzes zu kennen, heißt, zu wissen, wie die Welt beschaffen sein muß, damit der Satz wahr (oder falsch) ist.

Diese Annahme liegt der wahrheitsfunktionalen Semantik zugrunde, die von dem Logiker Alfred Tarski im Jahre 1944 zu einem systematischen Verfahren formalisiert wurde. Sie faßt den Begriff der Bedeutung als eine Funktion zwischen sprachlichen Ausdrücken und der Welt auf und verwendet die Wahrheit von Aussagen als Kriterium für die Ermittlung von deren Bedeutung. Zur Illustration betrachten wir die Aussage: Die Schachtel ist offen in den beiden Situationen, die die Graphik (27) zeigt. In der linken Situation ist diese Aussage wahr, da die Welt zutreffend beschrieben wird. In der rechten Situation ist die Aussage hingegen falsch, da die Welt nicht zutreffend beschrieben wird.

(27)

Unsere semantische Kompetenz ist scheinbar so beschaffen, daß wir (i.d.R. sehr schnell) entscheiden können, ob ein sprachlicher Ausdruck mit einer Weltgegebenheit übereinstimmt oder nicht. Es ist nun stets so, daß das Feststellen einer Übereinstimmung immer einen Vergleich voraussetzt. Wenn wir etwa feststellen wollen, ob zwei Objekte identisch sind, so müssen wir prüfen, ob die Menge der Eigenschaften des ersten Objekts in der Menge der Eigenschaften des zweiten Objekts enthalten ist und umgekehrt. Dazu fragen wir uns, ob jede einzelne Eigenschaft, die in der ersten Menge auftritt auch in der zweiten Menge enthalten ist, und jede Eigenschaft, die wir in der zweiten Menge auffinden, auch in der ersten Menge gefunden werden kann. Wenn dies der Fall ist, so sagen wir, daß die beiden Objekte übereinstimmen, oder: Es ist wahr, daß die beiden Objekte übereinstimmen. Wenn dies nicht der Fall ist, so sagen wir, daß es falsch ist, daß die beiden Objekte übereinstimmen. In einem ähnlichen Sinne findet wohl auch ein Vergleich zwischen der mentalen Konstruktion einer Situation, die durch einen Satz ausgedrückt wird und einer Situation in der Welt statt, und wir verfügen über die Kompetenz, ein mentales Szenario mit einem real existierenden Szenario zu vergleichen. Wir sagen dann, daß ein Satz wahr ist, wenn beide Szenarien in wesentlichen Hinsichten übereinstimmen. Damit haben wir die Frage nach der Bedeutung eines Satzes verlagert auf die Frage nach der Wahrheit eines Satzes. So unklar und problematisch das Konzept von der Wahrheit eines Satzes auch sein mag, es scheint doch leichter zu fassen zu sein als das Konzept der Bedeutung eines Satzes.

Was wir unter dieser Betrachtungsweise zu untersuchen haben, sind also die Bedingungen, die erfüllt sein müssen, damit ein Satz wahr ist. Wir halten dieses Resultat in dem folgenden Satz fest:

(28) Ein Satz ist wahr genau dann, wenn die Bedingungen, die er ausdrückt, tatsächlich erfüllt sind.

Wir werden in diesem Abschnitt den Versuch unternehmen, die Wahrheitsbedingungen von Sätzen anzugeben. Damit soll nicht unterstellt werden, daß die Bedeutung von Sätzen vollständig durch ihre Wahrheitsbedingungen erfaßt werden kann. Es scheint aber offensichtlich zu sein, daß die Wahrheitsbedingungen eines Satzes ein ganz wesentlicher Bestandteil seiner Bedeutung sind, denn ganz ohne Kenntnis der Wahrheitsbedingungen kann das Konzept der Bedeutung eben auch nicht expliziert werden.

Nun stellt sich die Frage, wie diese Bedingungen zu formulieren sind. Betrachten wir dazu den einfachen Satz (29).

(29) Peter schläft.

Dieser Satz besteht aus einem Subjekt Peter und einem Prädikat schlafen. Es scheint einfach zu sein, den semantischen Wert des Ausdrucks Peter anzugegeben, nämlich als dasjenige Individuum, welches mit dem sprachlichen Zeichen Peter bezeichnet wird. Wir wollen auch sagen, daß das sprachliche Zeichen Peter das Individuum Peter denotiert. Die Beziehung zwischen Sprache und Welt bezeichnen wir demzufolge als Denotation.

(30)

Wenn wir den Satz Peter schläft hören und wissen wollen, ob dieser Satz wahr ist, so müssen wir prüfen, ob es in der Welt ein Individuum Peter gibt, und ob dieses Individuum schläft. Dazu benötigen wir eine Vorstellung vom Denotat des Prädikats schlafen. Nun, wir würden sagen, daß der Satz Peter schläft, genau dann wahr ist, wenn Peter ein Element der Menge der schlafenden Individuen ist. Diese Menge muß durch einen Ausdruck in diesem Satz denotiert werden, und dies scheint ganz offensichtlich durch das Prädikat schlafen zu geschehen. Somit können wir sagen, daß das Prädikat schlafen die Menge der Individuen denotiert, die schlafen. Im Sinne einer Wahrheitsbedingung ist dieser Ansatz nicht unplausibel, da das Prädikat schlafen das Diskursuniversum in zwei Klassen von Individuen zerlegt, nämlich in solche, die schlafen, und in solche, die nicht schlafen. Anders formuliert heißt dies, daß das Prädikat schlafen aus dem Diskursuniversum diejenigen Individuen aussondert, die schlafen. Der Satz Peter schläft ist also genau dann wahr, wenn Peter in der Menge der Individuen enthalten ist, für die gilt, daß sie schlafen. Um dies aber zu entscheiden, müssen wir wissen, welche Elemente in der Menge der schlafenden Individuen enthalten sind, denn wir müssen ja zu jedem Individuum entscheiden, ob es Peter ist oder nicht. Wir können somit sagen, daß wir in Kenntnis der Bedeutung von schlafen feststellen, welche Individuen in der Diskursdomäne D schlafen. Aufgrund der Bedeutung von schlafen können wir die Teilmenge von D bilden, die alle Individuen enthält, die schlafen. Die Bedeutung von anderen Prädikaten erlaubt uns, andere Teilmengen zu bilden. Die Graphik in (31) zeigt eine Diskursdomäne mit acht Individuen. Von diesen Individuen schlafen vier. Wenn wir die Bedeutung von schlafen kennen, so können wir die Diskursdomäne in zwei Klassen einteilen, nämlich solche Individuen, die schlafen, und solche, die nicht schlafen.

(31)

Wir können sprachliche Prädikate somit als Klassifikatoren unserer Welt auffassen, indem die Menge aller Individuen, in verschiedene Klassen eingeteilt werden, nämlich in solche, auf die ein Prädikat zutrifft und solche, auf die es nicht zutrifft. Da wir als native Sprecher über eine relativ große Anzahl von Prädikaten verfügen, vermögen wir unter vielen verschiedenen Perspektiven die Dinge in unserer Welt zu Klassen zusammenzufassen. Das jeweils angewendete Prädikat liefert uns dabei die Menge derjenigen Individuen, auf die dieses Prädikat zutrifft. Und da wir in der Lage sind, zu jedem Individuum speziell zu entscheiden, ob es schläft oder nicht, wollen wir sagen, daß das Prädikat schlafen die Menge derjenigen Individuen denotiert, die schlafen. Dieses Resultat formulieren wir in (32).

(32) Das Denotat eines einstelligen Prädikats ist die Menge derjenigen Individuen, auf die das Prädikat zutrifft.

(32) gilt nun aber nicht nur für verbale Prädikate wie schlafen, sondern für alle einstelligen Prädikate. So denotiert das einstellige Prädikat blau die Menge all der Individuen, die blau sind. Und das einstellige Prädikat unten denotiert die Menge all derjenigen Individuen, die unten sind.

(33)

Wenn wir nun einen Satz mit einem zweistelligen Prädikat betrachten, so stellt sich natürlich die Frage, was das Denotat eines zweistelligen Prädikats ist.

(34) Peter liebt Maria.

Wir haben in der Mengenlehre bereits den Begriff des cartesischen Produkts D x D kennengelernt. Dies war die Menge aller möglichen Paare mit Elementen aus D. Da das Prädikat lieben ein zweistelliges Prädikat ist, stellt es eine Relation zwischen zwei Individuen her. Wenn verschiedene Individuen ineinander verliebt sind, so können wir diese zur Menge der Liebespaare zusammenfassen. Das Denotat eines zweistelligen Prädikats bildet damit eine Teilmenge des cartesischen Produkts, nämlich die Menge aller Paare <x,y>, für die gilt: x liebt y.

(35) Das Denotat eines zweistelligen Prädikats ist die Menge der geordneten Paare, auf die das Prädikat zutrifft.

Diese Beziehung ist in (36) graphisch dargestellt.

(36)

Es ist nun einfach, die Wahrheitsbedingungen für den Satz Peter liebt Maria anzugeben. Dieser ist nämlich genau dann wahr, wenn das Paar <Peter,Maria> ein Element der Menge der Paare ist, die von dem Prädikat lieben denotiert wird. Wenn also in der Diskursdomäne D die drei Individuen Peter, Maria und Clara auftreten, dann ist das cartesische Produkt D x D die Menge in (37).

Wenn Peter Maria, Clara Peter und Maria Peter liebt, dann denotiert das Prädikat lieben die Menge von Paaren in (38).

(38) { <Peter,Maria>,<Maria,Peter>,<Clara,Peter> }

Diese Menge ist natürlich eine Teilmenge des cartesischen Produkts D x D. Wenn wir entscheiden wollen, ob die beiden folgenden Sätze wahr sind, so müssen wir prüfen, ob die Argument-Paare im Denotat von lieben auftreten.

Damit (39)(i) wahr ist, muß in der Welt gelten, daß das Denotat von lieben das Paar <Clara,Peter> enthält. Da dies der Fall ist, ist der erste Satz wahr. Für den zweiten Satz müssen wir prüfen, ob das Paar <Peter,Clara> im Denotat von lieben enthalten ist. Dies ist nicht der Fall, und somit ist der Satz (39)(ii) falsch.

Wir gehen also so vor, daß wir das Denotat eines einstelligen Prädikats als die Menge derjenigen Individuen auffassen, die das Prädikat erfüllen. Das Denotat eines zweistelligen Prädikats ist diejenige Teilmenge von Paaren von Individuen des cartesischen Produkts D x D, die in der durch das Prädikat ausgedrückten Relation zueinander stehen.

Wir vermuten bereits, welches Denotat dreistellige Prädikate haben. Da wir im Kapitel über Relationen sogar das n-fache cartesische Produkt definiert haben, können wir das Denotat eines dreistelligen Prädikats folgendermaßen festlegen:

(40) Das Denotat eines dreistelligen Prädikats ist die Menge derjenigen Tripel von Individuen, auf die das dreistellige Prädikat zutrifft.

Der Satz in (41) ist also genau dann wahr, wenn das Tripel <Peter,Maria,Geld> ein Element im Denotat des Prädikats schenken ist.

(41) Peter schenkt Maria Geld.

Zusammenfassend halten wir fest, daß die Denotate von Prädikaten Mengen sind, die die Objekte in (42) enthalten.

usw.

Es ist leicht zu sehen, daß die Denotate von n-stelligen Prädikatsausdrücken stets Teilmengen des n-fachen cartesischen Produkts darstellen, wobei wir für n = 1, also für das Denotat von einstelligen Prädikaten, sagen können, daß sie eine Teilmenge des 1-fachen cartesischen Produkts bilden. Eine Individuum ist sozusagen der Spezialfall eines n-Tupels, wobei n = 1 ist, d.h ein Tupel mit nur einem Element.

Betrachten wir einige NPn, in denen sog. Quantoren auftreten.

Die kursiv gesetzten Satzteile sind quantifizierende NPn, weil in ihnen Ausdrücke wie kein, einige, alle auftreten. Es scheint schwierig zu sein, das Denotat des Ausdrucks Kein Computer anzugeben. Ein erster Versuch könnte auf der Annahme beruhen, daß die NP Kein Computer die leere Menge denotiert. Doch dann wäre man zu der Folgeannahme gezwungen, daß andere NPn, wie etwa Kein Schwein, ebenfalls die leere Menge denotieren, und folglich die Denotate von Kein Computer und Kein Schwein identisch sind. Dies ist natürlich ein recht widersinniges Ergebnis, denn intuitiv ist klar, daß ein Unterschied zwischen den Bedeutungen dieser beiden NPn bestehen muß.

Auch diese Fragen wollen wir zunächst zurückstellen. In einem späteren Kapitel werden wir sie wieder aufgreifen. Wir sollten im Auge behalten, daß der Begriff Denotat problematischer ist, als es zunächst den Anschein hat. Für die folgenden Überlegungen und die NPn, über die wir reden, genügt es aber anzunehmen, daß das Denotat von NPn Individuen sind, die in unserer Welt existieren.

Was ist nun das Denotat von Aussagen? Auf der Hand zu liegen scheint, daß dies die Menge derjenigen Situationen ist, die die Ausssage beschreibt. Nun interessiert uns aber gerade die Wahrheit von Sätzen. Wenn wir die beiden Sätze in (48) betrachten und feststellen, daß beide Sätze wahr sind, so haben sie mit ihrem Wahrsein etwas gemeinsam.

Die Sachverhalte, die beschrieben werden, sind jedoch völlig verschieden. Wenn wir sagen, daß das Denotat einer Aussage die Menge der Situationen ist, die durch die Aussage beschrieben werden, so finden wir zwischen diesen beiden Sätzen keine Gemeinsamkeit. Die Gemeinsamkeit, die wir feststellen können, ist ihr Wahrheitswert. Aber auch wenn die beiden Sätze nicht den gleichen Wahrheitswert haben, so weisen sie doch insofern eine Ähnlichkeit auf, als sie beide überhaupt einen Wahrheitswert haben können, wie auch immer dieser bestimmt sein mag. Wir wollen daher annehmen, daß das Denotat einer Aussage ihr Wahrheitswert ist. Im letzten Kapitel werden wir aber darüber hinaus auch der Intuition Rechnung tragen, daß ein Satz die Menge derjenigen Situationen denotiert, in denen er wahr ist.


2.4. Die Sprache L₁

Das Ziel dieses Abschnitts wird darin bestehen, eine Theorie-Sprache zu formulieren, mit deren Hilfe wir die Denotate von komplexen Ausdrücken als Denotate der einfachen Ausdrücke kompositionell berechnen können. Diese Sprache nennen wir L₁. Der Name soll uns daran erinnern, daß wir es mit einer Sprache L₁ der Prädikatenlogik erster Stufe zu tun haben. Was dies genau bedeutet, werden wir später etwas besser verstehen. Hier genügt die Anmerkung, daß wir mit einer Sprache erster Stufe nur über Individuen quantifizieren können, aber auch das soll uns eingangs noch nicht interessieren.

Wir betrachten L₁ als eine Theoriesprache, in der wir die Semantik der möglichen Ausdrücke genau angeben können. Darüber hinaus existiert das von Tarski entwickelte Verfahren, um die (komplexen) Ausdrücke dieser Sprache relativ zu einem Modell (der Welt) zu interpretieren. Natürlich weicht diese Sprache in ganz erheblichem Maße von Deutsch, Französisch oder Englisch ab, aber verschiedene Eigenschaften von L₁ finden wir auch in diesen Sprachen, und genau auf diese Eigenschaften kommt es uns an. Wir werden sehen, daß nicht alle Ausdrücke des Deutschen in die auf der Prädikatenlogik aufgebauten Sprache L₁ übersetzt werden können. Aus diesem Grund werden wir die Sprache L₁ in den späteren Kapiteln schrittweise erweitern, um somit zumindest eine immer größere Annäherung zu erreichen.

Wir werden dazu in ähnlicher Weise vorgehen, wie wir es bereits in der Aussagenlogik getan haben. Dort haben wir zunächst die elementaren Dinge bestimmt, über die wir reden wollen, die sog. atomaren Einheiten. Diese bilden hier das Lexikon bzw. das Vokabular der Theoriesprache. Sodann geben wir Regeln an, die die Kombinatorik der Einheiten festlegen, so daß wir auch über komplexe Sachverhalte und Zustände sprechen können. Diese Kombinationsregeln formulieren wir in der Syntax. Schließlich benötigen wir Prinzipien, nach denen die syntaktisch geformten Ausdrücke interpretiert werden. Dazu entwerfen wir semantische Regeln, mit deren Hilfe wir bewerten können, ob Aussagen wahr sind. Wir verfahren also im Prinzip genauso, wie wir es aus der Aussagenlogik schon kennen, nur daß unser Vokabular aus kleineren Einheiten als den Aussagen besteht und daß die syntaktischen und semantischen Regeln inhaltlich anders formuliert sind.


2.4.1. Das Vokabular von L₁

Wenn man eine Fremdsprache erlernen will, so besteht eine Hauptaufgabe darin, den Wortschatz dieser Sprache zu erwerben, bzw. ihr Vokabular kennenzulernen und Übersetzungsäquivalente zu den Begriffen der eigenen Sprache zu finden. Wenn wir den englischen Satz Dogs bark ins Deutsche übersetzen wollen, so schlagen wir in einem Wörterbuch die beiden Wörter dog und bark nach, entnehmen die zugehörigen deutschen Wörter Hunde und bellen und können diese -mit einigen weiteren Operationen, die uns hier aber nicht interessieren sollen- in den deutschen Satz Hunde bellen übersetzen. Wenn wir uns nun vorstellen, daß wir eine neue Sprache entwickeln, in die wir deutsche Sätze übersetzen können, so müssen wir das Wörterbuch und die darin enthaltenen Übersetzungen erst selbst schreiben. Einen solchen Versuch wollen wir jetzt unternehmen.

Dazu müssen wir zunächst festlegen, welche Wörter diese Sprache haben soll, d.h. wir entwerfen das Vokabular von L₁. Das ist recht einfach zu bestimmen, denn wir wollen in L₁ im Prinzip über all das reden können, über das wir auch im Deutschen reden: über Tiere, Menschen, Kinofilme, das Wetter, Möbel, Häuser, Theorien, Gebirgsformationen, Bücher aber auch über Otto, Clara, Maria, unsere Nachbarn, den Bundeskanzler oder J.W. Goethe usw. Diesen Dingen können wir Eigenschaften zuweisen, indem wir etwa Adjektive verwenden: langweilige Kinofilme, blonde Menschen, blöde Theorien usw. Darüber hinaus können wir zwischen diesen Dingen Bezüge herstellen. Wir sagen etwa, daß Menschen Theorien aufstellen, oder daß Otto kleine Tiere mag, oder daß die meisten Bücher spannender sind als Kinofilme, oder daß Otto in Clara verliebt ist, oder daß Möbel auf der Straße stehen. Um solche sprachlichen Komplexe zu bilden, müssen wir natürlich wissen, aus welchen Einheiten sich diese zusammensetzen und welche Eigenschaften diese Einheiten haben, damit sie so und nicht anders zusammengesetzt werden können. Ohne nun einen Exkurs in die Syntax natürlicher Sprachen zu unternehmen, wollen wir ganz einfach sagen, daß die Ausdrücke in L₁ Prädikate sind. Wir wissen, daß dies zwar sehr allgemein ist und von vielen Eigenschaften, die sprachliche Ausdrücke sonst noch haben, absieht, aber für unsere Zwecke mag dies genügen.

Wenn wir den Satz Paul klaut ein Buch betrachten, so stellt das Verb klauen eine Relation zwischen Paul und einem Buch dar, denn klauen ist ein zweistelliges Prädikat. Da nicht nur Paul Bücher klaut, sondern auch Otto Autoradios, ist es sinnvoll, die beiden Argumente des Verbs klauen durch Variablen x und y darzustellen, also in der Art: x klauen y. Wenn wir nun für die Variable x Paul und für die Variable y ein Buch einsetzen, so erhalten wir den Satz Paul klauen ein Buch; und wenn wir für x Otto und für y Autoradios einsetzen, so ergibt sich der Satz Otto klauen Autoradios. Dabei sehen wir davon ab, zu welcher Zeit dieser Vorgang stattfindet, daß die Kongruenz zwischen Subjekt und finitem Verb nicht gewahrt ist, daß wir nicht ein bestimmtes, designiertes Buch meinen, daß die Genuskongruenz in der Nominalphrase eingehalten wird, daß der Satz Verbzweit-Stellung aufweist usw. usf. Uns interessiert nur, daß klauen ein zweistelliges Prädikat ist.

Nun können auch andere syntaktische Kategorien als Prädikate charakterisiert werden, wie wir bereits gesehen haben. Präpositionen spezifizieren z.B. lokale oder temporale Relationen zwischen Individuen (oder Objekten): x in/auf/über/unter/neben y. Andere Präpositionen sind einstellig: x ist unten/oben/hinten. Adjektive wie blau, tief, lang, breit, schön sind ebenfalls einstellige Prädikate, x ist blau/tief/breit, und Nomina wie Fan, Bruder, Bürgermeister, wie man an Beispielen wie Burger ist Bürgermeister von Köln, Karl ist der Bruder von Otto sieht, können als zweistellige Prädikate charakterisiert werden.

Kurzum, wir benötigen für unser Grundvokabular einerseits Ausdrücke, die Individuen (und Objekte) denotieren und andererseits Prädikate, die Relationen zwischen Individuen denotieren.

Diese Ausdrücke müssen wir in die Sprache L₁ übersetzen. Das ist sehr einfach, denn ein Ausdruck von L₁ soll genauso aussehen, wie ein Ausdruck des Deutschen, außer daß er durch ein Apostroph als Vokabel von L₁ gekennzeichnet ist. Das Wort lieben des Deutschen wird also mit dem Ausdruck lieben' in L₁ übersetzt. Darüber hinaus ist festzulegen, daß der neue Ausdruck in L₁ ein zweistelliges Prädikat bezeichnet. Dies ist aber ebenfalls sehr einsichtig, da das Wort lieben im Deutschen ein transitives Verb ist und als solches ebenfalls zwei Argumente benötigt. Die Übersetzung der deutschen Ausdrücke in L₁ geschieht in der folgenden Weise:

(49)

Die Ausdrücke in der linken Spalte sind Elemente der Objektsprache, d.h. Wörter des Deutschen. Die Ausdrücke in der rechten Spalte sind Wörter der Metasprache, d.h Ausdrücke der Sprache L₁.

Wörter des Deutschen wie Peter, Maria usw. werden in Individuenkonstanten übersetzt. Verben wie schlafen, lieben, schenken, usw. werden in ein-, zwei- bzw. dreistellige Pädikate übersetzt, d.h. für jedes Verb, welches in L₁ übersetzt wird, gilt es zu bestimmen, welche Anzahl von Argumenten das übersetzte Prädikat hat. Die Übersetzungsprozedur muß also festlegen, daß 0-stellige Verben in 0-stellige Prädikate, 1-stellige Verben in 1-stellige Prädikate, 2-stellige Verben in 2-stellige Prädikate usw. übersetzt werden.

(50)

Unterschiedliche Wortformen wie geben, gebt, gab, gibst wollen wir nicht unterscheiden, sondern alle diese Varianten sollen in der Infinitivform als geben' übersetzt werden, da uns nur die Prädikat-Argument-Struktur dieser Ausdrücke interessiert. Individuen-Konstanten und Prädikate nennen wir im folgenden nicht-logische Konstanten.

Die Frage ist nun, warum wir diesen Aufwand der Übersetzung betreiben, wenn die übersetzten Ausdrücke ohnehin fast identisch mit den Ausdrücken des Deutschen sind. Der Grund dafür ist der folgende: Wir wissen nicht, wie wir die Bedeutung von Sätzen des Deutschen angeben sollen. Natürlich, allein die Übersetzung in die Prädikatenlogik bringt uns dabei nicht weiter, da wir nur Symbol-Konfigurationen des Deutschen durch Symbol-Konfigurationen der Prädikatenlogik ersetzen. Der entscheidende Punkt liegt jedoch darin, daß es ein formales Verfahren gibt, mit dessen Hilfe wir die Beziehung zwischen Ausdrücken von L₁ und Zuständen und Prozessen in der Welt so aufeinander beziehen können, daß sich die Wahrheit der L₁-Ausdrücke formal überprüfen läßt. Da es nicht einfach ist, die Bedeutung sprachlicher Ausdrücke zu ermitteln, ist es umso wichtiger, daß wir uns stets auf eine explizite Theorie stützen können, die es erlaubt, die komplexen Annahmen über Bedeutungen aufeinander zu beziehen und ihre Kohärenz zu überprüfen.

Nun wollen wir aber nicht nur über Individuen wie Paul, Maria und Clara reden, sondern auch über irgendwelche unbestimmten Individuen wie in den folgenden Sätzen: Irgendjemand liebt Maria, Kein Mensch wohnt freiwillig in Wanne-Eickel, Alle Schwäne sind weiß, Mindestens drei Antworten sind richtig usw. Dabei legen wir uns mit den Wörtern alle, kein, mindestens drei usw. nicht auf spezielle Individuen fest, sondern auf eine unbestimmte Menge von Individuen. Von dieser Menge können wir nur sagen, daß alle Elemente, kein Element oder mindestens drei Elemente in ihr enthalten sind, etwa alle Schwäne, kein Mensch, mindestens drei Antworten. Wir können aber nicht genau sagen, um welche Elemente genau es sich dabei handelt. Wiederum benötigen wir Variablen für Individuen oder Objekte.

Wir haben damit zwei Klassen von Ausdrücken für Individuen: (Individuen-) Konstanten und (Individuen-) Variablen. Wir fassen Individuenkonstanten wie (Paul, Clara usw.) und Individuenvariablen (x, y, z, ...) unter den Oberbegriff Terme zusammen.

Da in der Sprache L₁ alle komplexen Ausdrücke der Aussagenlogik enthalten sein sollen, nehmen wir ebenfalls die Konnektoren der Aussagenlogik mit in unser Vokabular auf, so daß auch ¬, Ù ,Ú ,® ,<-> mit zum Vokabular gehören. Damit können wir nun die folgenden Sätze ausdrücken.

Um auch Aussagen behandeln zu können, wie Einige Fischer trinken Schnaps oder Alle Tiere schlafen, müssen wir besondere Vorkehrungen treffen, denn bei solchen Sätzen quantifizieren wir über bestimmte Mengen (etwa:die Menge der Fischer). Dazu verwenden wir zwei Quantoren:" und $. Der Quantor " besagt, daß wir uns auf alle Individuen beziehen, die in der Diskursdomäne auftreten, und der Quantor $ besagt, daß wir uns auf mindestens ein Individuum in der Diskursdomäne beziehen.

Damit wollen wir das Vokabular der Sprache L₁ abschließen. Wir fassen die einzelnen Elemente nochmals zusammen.

Dieses Vokabular scheint zunächst recht klein zu sein. Es gilt aber zu bedenken, daß wir alle möglichen Individuen und Objekte in unser Lexikon aufnehmen können, d.h. Bezeichnungen für alle Personen, für alle Möbel, für alle Tiere, für alle Autos, kurzum für alle Entitäten, die wir überhaupt kennen. Weiterhin können wir auch alle Prädikate des Deutschen in das Vokabular von L₁ übernehmen, d.h. alle Verben, Präpositionen und Adjektive, um Beziehungen unterschiedlichster Art zwischen Individuen und Objekten auszudrücken.


2.4.2. Der Begriff Modell für die Prädikatenlogik.

Um die Wahrheit bzw. Falschheit von Aussagen bezüglich einer Welt beurteilen zu können, benötigen wir konkrete Vorstellungen von dieser Welt. Da es mitunter schwierig ist, sich auf die gesamte aktuelle Welt zu beziehen, in der wir leben, konstruieren wir uns ein Modell von der Welt, in dem wir übersehen können, was in dieser der Welt der Fall ist und was nicht. Natürlich konstruieren wir kein Modell für die gesamte Welt -das wäre nämlich viel zu kompliziert-, sondern nur für einen kleinen Weltausschnitt. In einem solchen Modell treten Individuen auf, zwischen denen verschiedene Relationen bestehen können. Wir betrachten sodann Aussagen über diese Modellwelt und zeigen an dem Bezug zwischen sprachlichen Ausdrücken (über die Welt) und dem Modell (von der Welt), welche Interpretation sprachliche Äußerungen in dem Modell erhalten, und wie diese Interpretation gefunden werden kann. Wir wollen damit zeigen, auf welche Art und Weise sprachliche Ausdrücke in Bezug zu unserer Modellwelt gesetzt werden, mag es uns gelingen, besser zu verstehen, was wir in allen Kommunikationssituationen stets tun, nämlich über die Welt zu reden und Urteile darüber abzugeben, ob die Welt nun so oder so beschaffen ist. Wenn wir dieses Ziel erreicht haben, können wir gewissermaßen formal nachspielen, wie unsere semantische Kompetenz beschaffen sein muß, um die Wahrheit bzw. Falschheit sprachlicher Aussagen relativ zur (Modell-) Welt zu bestimmen.

Dazu gehen wir so vor, daß wir zwischen Ausdrücken des Deutschen, der Objektsprache, und solchen der Metasprache unterscheiden. Dies haben wir bereits im vorhergehenden Kapitel durch die Übersetzungsfunktion vorgenommen. Darüber hinaus muß unsere Schreibweise aber auch unterscheiden, welche Ausdrücke logische Ausdrücke sind und mit welchen Ausdrücken wir Individuen, Entitäten und Relationen im Modell bezeichnen, d.h. wir müssen auch die metasprachlichen Ausdrücke in L₁ von ihren Denotaten im Modell unterscheiden, so daß wir drei Klassen von Ausdrücken erhalten: Ausdrücke der Objektsprache Deutsch, die Übersetzung dieser Ausdrücke in L₁ und die Bezeichnung für die Denotate. Dies ist in der Graphik (53) dargestellt.

(53)

Da wir den direkten Bezug zwischen den Sätzen einer natürlichen Sprache und der Welt gerne verstehen möchten (unterer Pfeil), darüber aber keine Kenntnisse haben, gehen wir so vor, daß wir die Sätze der Objektsprache (Deutsch oder auch eine andere natürliche Sprache) zunächst in die Metasprache L₁ übersetzen. Wir verwenden dann das Tarski-Verfahren, um zu bestimmen, in welchem Verhältnis die metasprachlichen Übersetzungen zu einem Modell von der Welt stehen. Das deutsche Wort Tisch wird also in die Metasprache als Tisch' übersetzt, und es denotiert in der Welt [|Tisch'|], die Menge derjenigen Objekte, die Tische sind.

Da wir nach wie vor an den Wahrheitsbedingungen von Aussagen in unserer Logiksprache interessiert sind, müssen wir sicherstellen, daß jeder aus der Objekt- in die Logiksprache übersetzte Ausdruck auch ein Denotat hat, denn Ausdrücke, die kein Denotat in der Welt haben, sind auch nicht zu interpretieren. Wir müssen also im Modell einerseits festlegen, über welche Individuen und Prädikate wir reden, und andererseits, wie die Umstände in der Welt bezüglich unserer Individuen und Prädikate beschaffen sind. Wenn wir in L₁ das Prädikat lieben' verwenden, so müssen wir auch im Modell festlegen, welches Individuum welches andere Individuum oder Objekt liebt. Verwenden wir den Ausdruck Peter', so gilt es zu wissen, was das Denotat von Peter' in der Welt ist. Wenn wir dies für alle nicht-logischen Konstanten vollständig spezifiziert haben, wollen wir sagen, daß wir ein Modell M für die Sprache L₁ haben. Modelle können ganz unterschiedliche Strukturen aufweisen, denn sie sollen jeweils bestimmte Umstände darstellen, die bestehen können. So ist es z.B. möglich, daß in einem Modell M₁ festgelegt ist, daß Otto schläft, während in einem Modell M₂ gelten könnte, daß Otto wach ist. Relativ zu dem Modell M₁ ist dann der Satz Otto schläft wahr, relativ zu dem Modell M₂ ist er hingegen falsch.

Da die Denotate der einzelnen Ausdrücke speziell für ein bestimmtes Modell definiert sind, wollen wir auch in der Notation für das Denotat markieren, für welches Modell es gilt. Das Denotat [|a |]' des L₁ -Ausdrucks a wird relativ zu einem Modell M angegeben und durch das Superskript ^'M' gekennzeichnet.

(54) [|a |]^M ist das Denotat von a bzgl. des Modells M.

Ein Modell M besteht aus zwei Komponenten D und F. Es bildet damit ein zwei-Tupel <D,F>, wobei D eine nicht-leere Menge von Individuen ist: die Diskursdomäne. In D befinden sich alle Individuen, Objekte, Gegenstände usw. F ist eine Funktion, die jeder nicht-logischen Konstanten von L₁ ein Denotat zuweist. F legt also fest, welche Interpretation die nicht-logischen Konstanten in L₁ haben. F bestimmt die Denotate wie folgt:

Wenn wir in L₁ die Ausdrücke Peter' und Maria' verwenden, so weist die Funktion F dem Ausdruck Peter' das Individuum [| Peter'|]^M zu und dem Ausdruck Maria' das Individuum [|Maria'|]^M. Es gilt also:

Wenn wir in L₁ das zweistellige Prädikat lieben' verwenden, und wenn es im Modell der Fall ist, daß [|Peter|]^M [|Maria|]^M liebt, und sonst niemand irgendjemand anderes liebt, so gilt:

(57) F(lieben') = [|lieben' |]^M = {<[|Peter|]^M,[|Maria|]^M>}

Wenn wir keine weiteren nicht-logischen Konstanten in L₁ haben, so hat mit dieser Festlegung jeder nicht-logische Ausdruck von L₁ ein Denotat in M, und damit haben wir ein Modell definiert. Es besteht aus der Menge D = {Peter, Maria} und der Funktion F, wie sie in (56) und (57) angegeben sind.

2.4.3. Die Syntax von L₁

Nachdem wir das Grundvokabular von L₁ festgelegt und für jede nicht-logische Konstante ein Denotat im Modell spezifiziert haben, wollen wir die syntaktischen Regeln für die Sprache L₁ formulieren. Mit diesen Regeln spezifizieren wir, auf welche Art und Weise die Elemente des Vokabulars zu komplexeren Ausdrücken verbunden werden können. Wir machen uns zunächst klar, daß wir die Strukturen von unendlich vielen Ausdrücken festlegen. Wir müssen also wieder -wie in der Aussagenlogik- rekursive Regeln angeben, die die Menge der prädikatenlogischen Formeln definiert.

(1) Syntaktische Regeln der Prädikatenlogik:

Da wir vermeiden wollen, daß unendlich komplexe Formeln gebildet werden können, legen wir darüber hinaus fest, daß nur endlich viele Regelanwendungen von (1)-(4) zur Erzeugung einer Formel erlaubt sind.

(2) Die Formeln von L₁ können nur aus einer endlichen Anzahl von Applikationen dieser Regeln erzeugt werden.

Mit Hilfe der Regel (1) können Prädikate mit Argumenten zu einer Formel verbunden werden. Das einstellige Prädikat schlafen' und der Term Paul' können zu der Formel schlafen'(Paul') kombiniert werden. Im Deutschen entspricht dieser Formel der Satz Paul schläft. Aber auch ein zweistelliges Prädikat wie lieben' kann nach Regel (1) mit den zwei Argumenten Paul' und Maria' zu einer Formel verbunden werden: lieben'(Paul',Maria'). Dieser Ausdruck ist die Übersetzung des Satzes Paul liebt Maria.

Mit Regel (2) können einfache Formeln zu komplexen Formeln verknüpft werden, so daß die Ausdrücke, die mit Hilfe der Aussagenlogik gebildet werden, auch in der Prädikatenlogik formulierbar sind. Da schlafen'(Paul`) nach Regel (1) eine Formel ist, ist ¬(schlafen'(Paul') nach Regel (2) ebenfalls eine Formel. Da weiterhin nach Regel (1) der Ausdruck lieben'(Paul',Maria') eine Formel ist, ist nach Regel (2) der Ausdruck ¬(schlafen'(Paul')  lieben'(Paul',Maria') ebenfalls eine Formel, und sie übersetzt den deutschen Satz: Wenn Paul nicht schläft, dann liebt Paul Maria. In der gleichen Weise gilt dies für die anderen Konnektoren der Aussagenlogik.

Die Regeln (3) und (4) behandeln die beiden Quantoren $ und " . Regel (4) besagt das Folgende: Wenn j(x) eine Formel ist, dann kann der Operator $x vor diese Formel geschrieben werden, wobei das Resultat wieder eine Formel ist. Was besagt aber eine solche quantifizierte Formel? Der Existenzoperator $x läßt sich paraphrasieren als: es gibt (mindestens) ein x. Verbunden mit einer Formel j(x) kann die Formel $xj(x) durch die Paraphrase wiedergegeben werden: Es gibt (mindestens) ein x, für dasj (x) gilt. Dabei ist es möglich, daß die Variable x in der Formel j auftritt oder auch nicht. Wir haben bei der Festlegung des Vokabulars Individuen-Konstanten und Individuen-Variablen unter dem Begriff Terme zusammengefaßt. Die Argumente von Prädikaten müssen daher nicht notwendigerweise (Individuen-) Konstanten sein, sondern auch (Individuen-) Variablen können nach Regel (1) als Argumente auftreten, da auch sie in die Klasse der Terme fallen. So ergibt etwa die Kombination des einstelligen Prädikats schlafen' mit der Individuenvariablen x die Formel schlafen'(x). Nach Regel (4) ist der Ausdruck $x[schlafen'(x)] ebenfalls eine Formel. Diese Formel wird paraphrasiert als: Es gibt (mindestens) ein x, so daß gilt: x schläft.

Genauso verhält es sich mit dem Quantor "x. Wenn der Ausdruck "x vor eine Formel j(x) geschrieben wird, so wird diese -nach Regel (3) gebildete- Formel paraphrasiert als: Für alle x gilt: j(x). Wenden wir die Regel (3) auf die Formel schlafen'(x) an, so erhalten wir die Formel "x[schlafen'(x)], die besagt: für alle x gilt, x schläft, oder kurz: Alle schlafen.

Mit dem Existenzquantor wird also ausgedrückt, daß die Formel j für mindestens ein x in der Diskursdomäne erfüllt sein muß, und mit dem Allquantor wird ausgedrückt, daß die Formel j für alle x in der Diskursdomäne erfüllt sein muß. Hinter einem Quantor steht immer eine Variable, auf die sich der Quantor bezieht, und nur für diese Variable ist er relevant.

Die Formel $x["y[lieben'(x,y)]] besagt: Es gibt ein x, so daß für alle y gilt: x liebt y. In diesem Fall gibt es also mindestens ein Individuum x, das alle Individuen y liebt. Der Existenzquantor bezieht sich auf die Variable x und der Allquantor auf die Variable y. Auf die Formel lieben'(x,y) wurde zuerst die Regel (3) und dann die Regel (4) angewendet.

Betrachten wir nun die Formel "y[$x[lieben'(x,y)]], bei der zuerst die Regel (4) auf die Formel lieben'(x,y) angewendet wurde und dann die Regel (3) auf die Formel $x[lieben'(x,y)]. Diese Formel besagt nun nicht das gleiche, wie die vorhergehende, denn sie wird paraphrasiert als: Für alle y gibt es ein x, so daß gilt: x liebt y. Das bedeutet aber, daß es zu jedem y irgendein x gibt, so daß x y liebt, d.h. jedes y wird von irgendeinem x geliebt; oder kurz: Jeder wird geliebt.

Wir wollen uns nun mit einigen Termini und Redeweisen vertraut machen, die im Zusammenhang mit Quantoren und Variablen wichtig sind. Jeder Quantor mit einer Variablen kann im Prinzip vor jede Formel geschrieben werden, unabhängig davon, ob die Variable in der Formel auftritt oder nicht: Der Ausdruck "x[j(y)] ist daher eine zulässige Formel. Man spricht bei derartigen Formeln auch von leerer Quantifikation, denn der Quantor bezieht sich nicht auf eine Variable, die in j enthalten ist.

Wenn x eine Variable und j eine Formel ist, vor die ein Quantor geschrieben wird, um einen Ausdruck der Form "x[j ] oder $x[j ] zu bilden, dann nennt man j den Skopus des Quantors. Gelegentlich bezeichnet man einen solchen Quantor auch als Operator.

Eine Variable ist gebunden, wenn sie im Skopus von "x oder $x liegt. Eine Variable ist frei, wenn sie nicht gebunden ist. Eine Variable kann daher entweder gebunden oder frei sein. Aber es gilt, daß jede Variable höchstens einmal gebunden sein darf. Ein Ausdruck der folgenden Art ist also unzulässig: $x["x[j(x)]].

In der folgenden Formel ist die Variable x frei, und die Variable y ist gebunden.

(3)

(Wenn alle schlafen, dann singt keiner.)

Der Operator "y bindet nur y in seinem Skopus, nicht aber x. In der folgenden Formel sind sowohl x als auch y gebunden.

(4) (Jeder liebt jemanden.)

Der Skopus des Allquantors "x ist der Ausdruck: $y[lieben'(x,y)], der Skopus des Existenzoperators dagegen: lieben'(x,y).

Wir betrachten abschließend noch ein Beispiel für eine etwas komplexere Formel. Diese Formel übersetzt den Satz: Für alle x gilt: Wenn x singt, dann gibt es einen Menschen y, und y hört x.

(5) (Wenn alle singen, dann gibt es einen Menschen, der alle hört.)

In dieser Formel ist der Skopus des Allquantors "x der Ausdruck:

[singen'(x) $ y [Mensch(y) Ù hören'(y,x)]],
und der Skopus des Existenzquantors $y ist der Teil der Formel:

[Mensch(y) Ù hören'(y,x)].

Eine Formel der Prädikatenlogik, in der alle Variablen gebunden sind, bezeichnet man als geschlossene Formel. Eine Formel mit mindestens einer freien Variablen ist eine offene Formel. Offene Formeln lassen sich nicht ohne weiteres interpretieren, da den freien Variablen mittels der Funktion F kein Denotat zugewiesen werden kann. Freie Variablen müssen i.d.R. durch Bedingungen, die der Kontext liefert, interpretiert werden. Für uns wird diese Art der Interpretetation zunächst aber keine Rolle spielen, da wir nur an geschlossenen Formeln interessiert sind. Darüber hinaus werden wir ein Verfahren kennenlernen, welches auch freien Variablen ein Denotat zuweist.


2.4.4.Die Semantik von L₁


Im letzten Abschnitt haben wir die Kombinationsregeln für die Elemente des Lexikons betrachtet. Mit diesen Regeln ist es möglich, beliebig komplexe L₁-Formeln zu bilden. In diesem Abschnitt wollen wir erörtern, wie die so gebildeten Formeln in einem Modell interpretiert werden können. Dabei gehen wir so vor, daß wir zu jeder syntaktischen Regel genau eine semantische Regel formulieren, die uns die Interpretation des Ausdrucks liefert, den die syntaktische Regel konstruiert hat. Diese Interpretation geschieht relativ zu einem vorgegebenen Modell M. Wir haben bereits erörtert, daß ein Modell M aus dem Individuenbereich D und der Denotatsfunktion F besteht. Wir fragen also danach, welche Interpretation eine Formel in einem Modell erhält, und dabei interessiert uns insbesondere, wann eine Formel bzgl. eines Modells wahr ist.


2.4.4.1.Wahrheitsbedingungen für Prädikatsausdrücke

Nach der syntaktischen Regel (1) kann aus einem einstelligen Prädikat P und einem Term t die Formel P(t) gebildet werden. Das Denotat des Prädikatsausdrucks P ist die Menge derjenigen Individuen in dem Modell, auf die das Prädikat P zutrifft. Das Denotat des Terms t ist das Individuum [|t|]^M. Wir sagen, daß die Formel P(t) im Modell M wahr ist, wenn das Individuum [|t|]^M ein Element des Denotats [|P|]^M von P ist. Wenn P das Prädikat schnarchen' ist, das verbunden mit dem Term Peter' die Formel P(t) (= schnarchen'(Peter')) bildet, so ist diese Formel im Modell M genau dann wahr, wenn das Individuum [|Peter'|]^M ein Element derjenigen Menge ist, die das Prädikat schnarchen' denotiert. Diese Menge ist die Menge aller Individuen, die schnarchen, also: [|schnarchen'|]^M. Die Formel schnarchen'(Peter') ist im Modell M genau dann wahr, wenn gilt:

(6) [|Peter'|]^M Î[|schnarchen'|]^M

Und die Formel ist genau dann falsch, wenn in M gilt:

(7) [|Peter'|]^M  Ï[|schnarchen'|]^M

bzw. wenn [|Peter'|]^M im Komplement von [|schnarchen'|]^M bzgl. D liegt.

In dem Modell in (8) sind [|Clara'|]^M und [|Hans'|]^M Elemente des Denotats von schnarchen'.

(8)

Bezüglich M ist sowohl der Satz Hans schnarcht als auch der Satz Clara schnarcht wahr. Die Sätze Luise schnarcht und Peter schnarcht sind in dem Modell M falsch, da weder [|Luise'|]^M noch [|Peter'|]^M Elemente in der Menge [|schnarchen'|]^M sind.

Für alle Formeln, die sich aus einem einstelligen Prädikat und einem Term zusammensetzen, formulieren wir jetzt eine allgemeine Bedingung, die angibt, wann eine Formel, die aus einem einstelligen Prädikat und einem Term besteht, wahr ist.

Das Denotat eines zweistelligen Prädikats ist die Menge der geordneten Paare <x,y>, die in der durch das Prädikat ausgedrückten Relation zueinander stehen. Nach der syntaktischen Regel (1) gilt, daß ein zweistelliges Prädikat P verbunden mit zwei Termen t₁ und t₂ eine Formel ist. Wann ist eine solche Formel wahr? Zur Beantwortung dieser Frage erinnern wir uns an die Konstruktion des cartesischen Produkts D x D. Dieses war definiert als die Menge aller Paare von Elementen aus D. Ein zweistelliges Prädikat denotiert eine Menge von Paaren, und ganz offensichtlich bildet diese Menge eine Teilmenge des cartesischen Produkts, in dem alle möglichen Paare enthalten sind. Wenn wir nun -ganz analog zu der Wahrheitsbedingung für einstellige Prädikate- feststellen wollen, ob t₁ und t₂ in der durch das Prädikat ausgedrückten Relation zueinander stehen, so müssen wir in M prüfen, ob das Paar <t₁,t₂> ein Element in der Menge der Paare ist, die von P denotiert wird. Wenn die Diskursdomäne D von M die folgende Menge darstellt: {Peter, Clara, Hans, Luise}, so ist das cartesische Produkt D x D die Menge aller Paare von Individuen aus D. Wenn Peter Clara, Clara Peter und Hans Luise liebt, und wenn sonst niemand irgendjemanden liebt, so bilden die drei Paare eine Teilmenge von D x D. Diese Teilmenge ist das Denotat [|lieben'|]^M des Prädikats lieben'.

(10)

Möchten wir nun wissen, ob der Satz Peter liebt Clara im Modell M wahr ist, so müssen wir prüfen, ob das geordnete Paar <[|Peter'|]^M, [|Clara'|]^M> in der Menge der geordneten Paare <x,y> enthalten ist, für die gilt, daß x y liebt, oder anders formuliert, ob gilt: <[|Peter'|]^M, [|Clara'|]^M>  Î[|lieben'|]^M. In unserem Modell ist diese Aussage wahr, da <[|Peter'|]^M, [|Clara'|]^M> ein Element in der Menge [|lieben'|]^M ist. Der Satz Clara liebt Hans ist in unserem Modell hingegen falsch, da das Paar < [|Clara'|]^M,[|Hans'|]^M> kein Element von [|lieben'|]^M darstellt.

Wir halten die folgende Wahrheitsbedingung für zweistellige Prädikate fest:

Es sollte nicht mehr schwerfallen, dieses Ergebnis für Formeln mit n-stelligen Prädikaten zu verallgemeinern. Ein n-stelliges Prädikat denotiert die Menge derjenigen n-Tupel von Individuen, auf die das Prädikat zutrifft. Wenn das n-Tupel in dieser Menge enthalten ist, so ist der Satz wahr. Die folgende Wahrheitsbedingung gilt für Formeln mit n-stelligen Prädikaten mit n Termen.

(12) Semantische Regel (1') für n-stellige Prädikate:

Für jedes n-stellige Prädikat P und beliebige Terme t₁, t₂, ..., t_n gilt: P(t₁, t₂, ..., t_n) = 1 <-> [|<t₁, t₂, ..., t_n>|]^M  Î[|P|]^M.

Diese Regel ist das semantische Korrelat zu der syntaktischen Regel (1), d.h. Formeln, die nach der syntaktischen Regel (1) gebildet werden, werden nach der semantischen Regel (1') interpretiert.


2.4.4.2Wahrheitsbedingungen für die Konnektoren

Wie werden die semantischen Werte der anderen Elemente des Basisvokabulars bestimmt? Die Konnektoren der Aussagenlogik '¬', 'Ù', 'Ú', '®', '<->', die wir in die Prädikatenlogik übernommen haben, behalten genau die gleiche semantische Interpretation, die wir in den Wahrheitswert-Tabellen festgelegt haben. Der Satz Peter schläft und Maria wandert kann in die beiden Teilformeln schlafen'(Peter') und wandern'(Maria') zerlegt, mit dem Konnektor Ù verbunden und in die Formel (13) übersetzt werden. Diese ergibt sich nach Anwendung der syntaktischen Regel (2).

(13) schlafen'(Peter') Ù wandern'(Maria')

Wenn in M einerseits gilt: [|Peter'|]^M Î[|schlafen'|]^M, d.h. daß das Individuum [|Peter'|]^M in der Menge der schlafenden Individuen enthalten ist, dann ist die Formel schlafen'(Peter') wahr. Wenn aber andererseits im Modell M nicht gilt, daß [|Maria'|]^M Î[|wandern'|]^M, d.h. daß Maria nicht wandert, dann ist die Formel wandern'(Maria') in M falsch. Nun sagt uns die Wahrheitswert-Tabelle, daß eine komplexe Formel, die zwei Aussagen mittels der Konjunktion verbindet, genau dann wahr ist, wenn beide Aussagen wahr sind. Die erste Formel ist im Modell wahr, die zweite hingegen falsch. Die mittels der Konjunktion gebildete komplexe Formel ist also falsch, da nicht beide Konjunkte wahr sind. Bevor wir den Wahrheitswert einer Konjunktion berechnen können, müssen wir jeweils die Wahrheitsbedingungen der beiden Teilformeln im Modell überprüfen. Dabei können folgende vier Fälle auftreten:

Dies sind aber genau die vier Fälle, die die Wahrheitswert-Tabelle erfaßt, die wir im Abschnitt über Aussagenlogik behandelt haben, so daß wir jetzt in der Lage sind, die semantischen Werte der Teilformeln kompositionell zu berechnen. Ganz ähnlich verhält es sich mit den anderen Konnektoren. Auch dabei müssen wir zunächst die Wahrheitsbedingungen der Teilformeln im Modell überprüfen und können dann erst feststellen, ob die gesamte Formel wahr oder falsch ist.

Eine negierte Formel wie etwa ¬(schlafen'(Peter')) besagt, daß Peter nicht schläft. Wie überprüfen wir, ob diese Formel in einem Modell wahr ist? Nun, wir bestimmen zunächst, ob das Individuum [|Peter'|]^M ein Element des Denotats [|schlafen'|]^M ist. Trifft dies zu, so ist die Formel wahr und es gilt:

(15) [|schlafen'(Peter')|]^M = 1.

Wendet man jetzt die Negation an, so verkehrt sich der Wahrheitswert in sein Gegenteil. Wenn also schlafen'(Peter') in M wahr ist, so ist die Formel ¬(schlafen'(Peter')) in M falsch, und es gilt:

(16) ¬[|schlafen'(Peter')|]^M = 0.

Wir formulieren die semantische Regel (2') in genauer Übereinstimmung mit den semantischen Regeln der Aussagenlogik. Wenn p und q Formeln sind, so gelten für die Konnektoren '¬', 'Ù', 'Ú', '®', '<->' die Wahrheitswert-Tabellen der Aussagenlogik. Allerdings müssen wir jetzt Prinzipien der Komposition formulieren, denn in der Aussagenlogik haben wir ja alle Verteilungen der Wahrheitswerte in die Tabellen aufgenommen. Da wir mit der Prädikatenlogik in der Lage sind, die Wahrheitswerte von Aussagen direkt zu berechnen, müssen wir angeben, wie sich diese bei einer Kombination von Aussagen mit den Konnektoren ergeben. Wir müssen also spezifizieren, wie sich das Denotat einer komplexen Formel aus den Denotaten der einfachen Formeln ergibt.

(17) Semantische Regel (2') für die Konnektoren der Aussagenlogik:

Wenn j und Y Formeln sind, die jeweils das Denotat ^[|j|]M und ^[|Y|]M haben, dann gilt:

Wenn p := schlafen'(Peter') und q := trinken'(Maria',Schnaps'), dann lassen sich die semantischen Werte von Formeln, die p und q mit einem Konnektor verbinden, nach den Wahrheitswert-Tabellen der Aussagenlogik berechnen, wobei jetzt allerdings nicht mehr alle möglichen Wahrheitswerte für p und q einzusetzen sind, sondern nur noch diejenigen, über die die Formeln p und q jeweils relativ zum Modell M verfügen. Wenn also in M gilt, daß Peter schläft und daß Maria Limonade trinkt (und nicht Schnaps), dann ist die Formel p wahr und die Formel q falsch. In diesem Falle gilt (18).

(18)

(i)	[|¬p|]M	= ¬[|p|]M	=¬1	=0
(ii)	[|p Ù q|]M	= [|p|]M Ù [q|]M	=1 Ù 0	=0
(iii)	[|p Úq|]M	= [|p|]M Ú [|q|]M	=1 Ú 0	=1
(iv)	[|p®q|]M	= [|p|]M ® [|q|]M	=1 ® 0	=0
(v)	[|p <->q|]M	= [|p|]M <-> [|q|]M	=1 <-> 0	=0

Die Denotate der komplexen Formeln werden also aus den Denotaten der einfachen Formeln berechnet, gerade so, wie wir es in der Aussagenlogik kennengelernt haben.


2.4.4.3 Wahrheitsbedingungen für $ und "

Wir fragen nun nach den Bedingungen, die erfüllt sein müssen, damit quantifizierte Formeln wahr sind. Die Formel j(x) kann nach Regel (3) mit dem Allquantor kombiniert werden, woraus die Formel "x[j(x)] entsteht. Wenn  j= schlafen' ist, so ergibt sich die Formel in (19)(i) mit der Paraphrase in (19)(ii), die dem Satz (19)(iii) entspricht.

Wie sich aus der Paraphrase in (19)(ii) ersehen läßt, wird über alle Individuen in der Diskursdomäne quantifiziert. Damit die Formel (19)(i) wahr ist, muß also für alle Individuen x in D gelten, daß sie schlafen. Wenn es ein Individuum in D gibt, welches nicht schläft, so ist die Formel falsch. Um die Wahrheit der allquantifizierten Formel zu überprüfen, müssen wir also zu jedem Individuum x in D entscheiden, ob die Formel schlafen'(x) für dieses Individuum wahr ist. Sofern dies für alle Individuen gilt, wollen wir sagen, daß auch die Gesamtformel wahr ist. Dies ist in (20) als Wahrheitsbedingung für allquantifizierte Formeln formuliert.

(20) Semantische Regel (3') für den Allquantor ":

Wenn x eine Variable und j(x) eine Formel ist, dann ist die Formel "x[j(x)] genau dann wahr, wenn die Formel j(x) für alle Individuen in D wahr ist.

Wendet man auf die Formel schlafen'(x) die syntaktische Regel (4) für den Existenzquantor an, so ergibt sich der Ausdruck in (21)(i) mit der semi-logischen Paraphrase (21)(ii) zu dem Satz (21)(iii).

Damit die Formel (21)(i) wahr ist, muß -wie man leicht anhand der Paraphrase in (21)(ii) sieht- für mindestens ein Individuum in D gelten, daß es schläft. Wenn ein solches Individuum in D existiert, so ist die Formel (21)(i) wahr, anderenfalls falsch. Wir können also die semantische Regel (4') für den Existenzquantor formulieren wie in (22).

(22) Semantische Regel (4') für den Existenzquantor $:

Wenn x eine Variable und j(x) eine Formel ist, dann ist die Formel $x[j(x)] genau dann wahr, wenn die Formel j(x) für mindestens ein Individuum in D wahr ist.

Bisher haben wir hauptsächlich solche Ausdrücke betrachtet, bei denen j ein einstelliges Prädikat ist, so daß sich eine quantifizierte Formel entweder auf alle Individuen oder nur auf irgendein Individuum bezieht, ohne daß wir über die Individuen selbst etwas ausgesagt hätten. Wir betrachten nun einige Formeln, bei denen j selbst komplex ist, z.B. die Übersetzung des Satzes Alle Hühner schlafen. Eine erste intuitive Annäherung könnte dabei das folgende annehmen:

Die Formel (23)(ii) drückt aber sicherlich nicht die Bedeutung des Satzes (23)(i) aus, wie man an der Paraphrase in (23)(iii) leicht sieht. (23)(ii) besagt nämlich, daß jedes Individuum in D ein schlafendes Huhn ist. Wir müssen überlegen, auf welche Art und Weise wir die Bedeutung von (23)(i) angemessen darstellen können. Dies wäre etwa möglich, wenn wir anstelle der Konjunktion das Konditional verwenden, so daß wir die Formel in (24)(ii) mit der Paraphrase in (24)(iii) erhalten.

Diese Übersetzung ist nun in mehrfacher Hinsicht sinnvoll. Um dies deutlich zu machen, wollen wir erst einmal die folgende abkürzende Schreibweise festlegen: H := Huhn' und S := schlafen'.

Damit die Formel (24)(ii) wahr ist, muß nach der semantischen Regel (3') die Formel H(x) ® S(x) für jedes Individuum in D wahr sein. Aus der Wahrheitswert-Tabelle für das Konditional wissen wir bereits, daß dieses genau dann falsch ist, wenn der Vordersatz wahr, der Nachsatz aber falsch ist. In D seien nun sowohl solche Individuen, die Hühner sind als auch solche, die keine Hühner sind, als auch solche, die schlafen, und solche, die nicht schlafen. Die Formel H(x) ® S(x) ist für alle Individuen wahr, für die S(x) wahr ist, da der Vordersatz für diese Individuen falsch ist. Die Formel ist natürlich auch für alle x wahr, für die sowohl H(x) als auch S(x) wahr ist, und sie ist nur für diejenigen Individuen falsch, für die H(x) wahr, S(x) aber falsch ist. Das bedeutet, daß die Formel für alle Individuen, die keine Hühner sind, wahr ist, und es bedeutet weiterhin, daß die Formel für alle Individuen, die schlafende Hühner sind, ebenfalls wahr ist, und zu guter Letzt, daß die Formel nur für solche Individuen falsch ist, die Hühner sind, aber nicht schlafen. Wenn es solche Individuen in M nicht gibt, so ist die Formel H(x) ® S(x) für alle Individuen in M wahr. Gibt es dagegen solche Individuen, so ist die Formel in M falsch.

Jetzt können wir verstehen, daß unsere Übersetzung sinnvoll war, denn das soeben erörterte Bedingungsgefüge des Konditionals entspricht genau der Wahrheitsbedingung, die mit der semantischen Regel (3') ausgedrückt wird. Bezüglich unseres Beispiels ergibt sich die Bedingung, daß für alle Individuen in M die Formel H(x) ® S(x) wahr sein muß, und dies ist genau dann der Fall, wenn es in M keine Hühner gibt, die nicht schlafen. Wir halten dieses Resultat in einem gesonderten Satz fest.

(25) Für (komplexe) allquantifizierte Formeln wird das Konditional verwendet.

Damit haben wir eine intuitiv adäquate Bedingung für die Verwendung des Allquantors formuliert, die wesentlich auf der Verwendung des Konditionals beruht. Es zeigt sich zugleich, daß die Festlegung der Wahrheitswert-Tabellen für das Konditional sinnvoll war, indem wir bei falschem Vordersatz stets den Wert 'wahr' für den Konditionalausdruck angenommen haben.

Betrachten wir nun eine Formel mit dem Existenzquantor. Man könnte zunächst versucht sein, auch diesen in Kombination mit dem Konditional zu verwenden. Damit erhielten wir die folgende Übersetzung.

Diese Übersetzung wäre dann angemessen, wenn es in M ein Individuum gibt, welches ein Huhn ist, das schläft, denn dann wäre die Formel H(x)  S(x) für irgendein Individuum wahr, und nach der semantischen Regel (4') wäre dies für die Wahrheit der Formel (26)(ii) hinreichend. Damit haben wir den Fall abgedeckt, daß sowohl H(x) als auch S(x) wahr sind. Die Formel (26)(ii) wird aber auch dann wahr, wenn es in M überhaupt keine Hühner gibt, da der Vordersatz des Konditionals in diesem Falle für alle Individuen in M falsch wäre, so daß das Konditional für alle Individuen in D wahr würde. In einer Situation, in der es keine Hühner gibt, ist der Satz (Mindestens) ein Huhn schläft aber falsch. Die Übersetzung mit dem Konditional liefert uns also ungenügende Ergebnisse. Wiederum sollten wir ausprobieren, ob nicht ein anderer Konnektor unsere semantische Intuition besser ausdrückt. Wir versuchen es diesmal mit der Konjunktion.

Die Formel (27)(ii) ist nach der semantischen Regel (4') genau dann wahr, wenn sie für irgendein Individuum in M wahr ist. Nun wird die Konjunktion aber nur dann wahr, wenn beide Konjunkte wahr sind. Insbesondere muß also gelten, daß für irgendein Individuum in M sowohl H(x) als auch S(x) wahr ist. Wenn es ein solches Individuum in M gibt, so ist (27)(ii) wahr, anderenfalls falsch. Diese Bedingung entspricht genau der Interpretation von (27)(i). Unsere semantische Intuition sagt uns also:

(28) Für existenzquantifizierte Formeln wird die Konjunktion verwendet.

Im nächsten Abschnitt wollen wir ein Verfahren kennenlernen, welches uns erlaubt, die Interpretation von quantifizierten Formeln in einem Modell formal nachzuspielen.

2.4.4.4. Interpretation der Quantoren: $ und "

Bevor wir das formale Verfahren der Tarski-Semantik betrachten, mit Hilfe dessen wir Quantorenausdrücke interpretieren können, wollen wir uns an einem Beispiel klar machen, wie wir überprüfen können, ob der Satz Alle Seminarteilnehmer sind blond wahr ist. Stellen wir uns dazu ein Modell M vor, das die folgende Situation darstellt. Wir befinden uns in einem Seminarraum, in dem zehn Seminarteilnehmer sitzen: Peter, Maria, Otto, Clara, Hans, Jens, Petra, Susanne, Katja und Luise. Diese zehn Individuen bilden die Diskursdomäne D. Wenn wir in dieser Situation bestimmen wollen, ob der Satz in (29)(i), bzw. dessen Übersetzung in (29)(ii) wahr ist, so müssen wir jedes einzelne Individuum anschauen und prüfen, ob es blond ist oder nicht.

Wir könnten dabei bei Peter anfangen, und wenn Peter blond ist, können wir sagen, daß der Satz bis jetzt nicht falsch ist. Wenn wir für Peter festgestellt haben, daß er blond ist, können wir aber noch nicht behaupten, daß der allquantifizierte Satz (29)(ii) wahr ist, weil wir ja für alle Individuen prüfen müssen, ob sie blond sind. Wir betrachten also als nächstes Maria, und wenn auch Maria blond ist, wissen wir, daß die Chance besteht, daß der Satz wahr sein kann, wiewohl wir auch jetzt noch nicht sagen können, ob er wahr bleibt, denn wir haben ja noch andere Individuen zu überprüfen. In dieser Art verfahren wir weiter, bis wir die ersten neun Individuen hinsichtlich ihrer Haarfarbe bestimmt haben. Wir nehmen an, daß bisher alle blond sind. Wir überprüfen jetzt die Haarfarbe von Luise. Wenn auch Luise blonde Haare hat, so ist der allquantifizierte Satz wahr. Wenn Luise aber schwarze Haare hat, so ist der Satz falsch, da nicht alle Individuen blond sind.

Dieses Beispiel zeigt folgendes: Um festzustellen, ob die allquantifizierte Aussage in (29)(i) wahr ist, muß zu jedem einzelnen Individuum in der Diskursdomäne entschieden werden, ob es blond ist oder nicht. Das bedeutet, daß die gesamte Diskursdomäne durchlaufen werden muß, um die Wahrheit eines allquantifizierten Satzes zu ermitteln. Die Falschheit dieses Satzes hätte sich (abhängig von Gegebenheiten möglicherweise) schneller ermitteln lassen. Wenn wir nämlich schon beim dritten Seminarteilnehmer Otto festgestellt hätten, daß dieser schwarze Haare hat, so wäre bereits an dieser Stelle klar gewesen, daß der allquantifizierte Satz falsch ist, und es wäre nicht mehr nötig gewesen, auch die restlichen Seminarteilnehmer zu betrachten.

In ähnlicher Weise müssen wir vorgehen, wenn wir die Wahrheit des Satzes (30)(i) mit der Übersetzung (30)(ii) ermitteln wollen.

Wiederum gilt es die Individuen in der Diskursdomäne zu betrachten. Wenn das erste Individuum (Peter) blond ist, so ist die Formel (30)(ii) wahr, und es ist nicht mehr nötig, die restlichen Individuen zu betrachten. Nehmen wir nun aber an, daß das Modell die folgende Struktur hat: Fünf Seminarteilnehmer haben schwarze und fünf haben blonde Haare. Wenn wir zuerst diejenigen Individuen mit den schwarzen Haaren betrachten, können wir noch nicht schließen, daß der Satz falsch ist, denn es könnte ja immer noch sein, daß einer der folgenden Teilnehmer blond ist. Wir müssen also weitersuchen, bis wir einen blonden Seminarteilnehmer gefunden haben. Wenn das sechste Individuum (Petra) nun tatsächlich blond ist, können wir an dieser Stelle sagen, daß der Satz wahr ist. Wären wir oben von einem Modell ausgegangen, in dem alle zehn schwarze Haare haben, müßten iwr dagegen bis zum letzten Seminarteilnehmer weitergehen, um feststellen zu können, daß der Satz falsch ist. Für die Wahrheitswert-Ermittlung quantifizierter Formeln gilt (31).

Diese Vorgehensweise drückt die Idee aus, die der Tarski-Semantik zugrundeliegt, und wir wollen diese Idee nun formal präzisieren.

Dabei ergibt sich eine Schwierigkeit: Um nämlich die Wahrheit der einfachen Formel blond'(x) zu berechnen, müssen wir das Denotat der Individuenvariablen x kennen, und wir haben bisher nicht angegeben, was das Denotat einer solchen Variablen ist. Für eine Variable kann jedes beliebige Individuum eingesetzt werden, und es scheint, als habe eine Variable gar kein festgelegtes Denotat. Nun wissen wir aber, daß ein Ausdruck, der kein Denotat hat, nicht interpretiert werden kann, so daß wir uns fragen sollten, wie wir diesem Dilemma entrinnen können. Ein Ausweg bestünde darin, der Variablen x zunächst irgendein Individuum als Denotat zuzuweisen, etwa [|Peter'|]^M. Wir könnten dann zu der Formel blond'(Peter') prüfen, ob diese Formel wahr ist. In einem zweiten Schritt könnten wir der Variablen x den Wert [|Maria'|]^M zuweisen und feststellen, ob die Formel blond'(Maria') wahr ist usw. Wenn wir diesen Prozeß zehnmal wiederholen, so haben wir die Variable x nacheinander mit zehn verschiedenen Werten belegt, nämlich genau den zehn Individuen aus M. Für alle zehn Belegungen gilt es jeweils festzustellen, ob die Formel blond(x) wahr ist. Da wir alle Individuen aus M einsetzen, spielt es keine Rolle, mit welchem Individuum wir anfangen, und in welcher Reihenfolge wir vorgehen.


2.4.4.5. Die semantischen Regeln der Prädikatenlogik

Wir haben in den vorangegangenen Abschnitten bereits alle relevanten Mechanismen kennengelernt, um die Formeln, die mittels der syntaktischen Regeln (1) bis (4) gebildet werden, bzgl. eines Modells M zu interpretieren. In diesem Abschnitt wollen wir die neuen Mechanismen mit den bereits bekannten zusammenfassen.

Jede Interpretation geschieht relativ zu einem Modell M = <D,F>. D ist die Diskursdomäne und F die Denotatsfunktion, die jeder nicht-logischen Konstanten ein Denotat zuweist. Demgemäß werden Individuen-Konstanten und Prädikate mittels F interpretiert.

Damit ist das Denotat der nicht-logischen Konstanten und der Variablen festgelegt. Die semantischen Regeln (1') - (4') formulieren wir in Abhängigkeit von der Variablenbelegung g und ihren Alternanten g'. Wir fassen die Regeln in (46) zusammen.

(46) Reformulierung der semantischen Regeln:

Der Hauptunterschied bei der Reformulierung der semantischen Regeln (3') bzw. (4') liegt darin, daß wir anstelle der Überprüfung der Formel j für alle Individuen bzw. (mindestens) ein Individuum in M die Alternanten g' der Funktion g verwenden. Die Regel (3'') besagt, daß eine allquantifizierte Formel genau dann wahr ist, wenn sie für alle Alternanten g' von g wahr ist. Da die Alternanten von g aber alle Individuen für x einsetzen, ist dies gleichbedeutend mit der Definition (3'). Lediglich das Verfahren der Überprüfung hat sich geändert, während inhaltlich natürlich alles beim Alten bleibt. Der gleiche Unterschied besteht zwischen (4'') und (4'). (4') wurde so formuliert, daß die Bedingung j für mindestens ein Individuum in D erfüllt sein muß, während die Bedingung (4'') besagt, daß die Bedingung j für mindestens ein g' zu gelten hat.

Übungsaufgaben

1. Übersetzen Sie die folgenden Sätze in L₁-Formeln:

(i) Peter schnarcht.
(ii) Otto schläft und Peter liebt Maria.
(iii) Otto schnarcht nicht.
(iv) Wenn Peter Maria liebt, dann haßt Otto Peter.
(v) Jemand schnarcht.
(vi) Niemand schläft.
(vii) Alle lieben Peter.
(viii) Peter liebt jeden.
(ix) Wenn Peter schnarcht, dann haßt Maria Peter.
(x) Keiner liebt Maria.
(xi) Keiner liebt jeden.
(xii) Wenn jeder jeden liebt, dann liebt jeder sich selbst.

2. Geben an, welchen Skopus die jeweiligen Quantoren in den folgenden Formeln haben. Wie lassen sich diese Formeln im Deutschen paraphrasieren?

(i) "x[schlafen'(x)]
(ii) $x[Kind'(x) Ù schlafen'(x)]
(iii) "y[$x[Mann'(x) Ù [Frau'(y) ® lieben'(x,y)]]]
(iv) "y[Mann'(y) ® $x[Frau'(x) Ù lieben'(x,y)]]
(v) $x[Frau'(x) Ù "y[Mann'(y) ® lieben'(y,x)]]

3. Zeige anhand der semantischen Regeln (1'') bis (4''), daß die Formel in (61)(ii): $y[Frau'(y) Ù "x[Mann'(x) ® lieben'(x,y)]] bzgl. des Modells M falsch ist.