Mathematische Methoden für Ökonomen

Das Buch bietet eine Einführung in die wichtigsten mathematischen Methoden für Ökonomen. Dazu gehören das Optimieren von Funktionen mit und ohne Nebenbedingungen, das Lösen linearer Gleichungssysteme, die Analyse von Differential- und Differenzengleichungen und die lineare Optimierung. Die Autoren legen besonderen Wert auf die Darstellung von in den Wirtschaftswissenschaften relevanten Begriffen und Modellen. Das Lehrbuch richtet sich an Studierende im Bachelorstudium. Durch ausführliche ergänzende Kapitel ist es auch für das Masterstudium und als Nachschlagewerk geeignet. Zahlreiche durchgerechnete Beispiele und Aufgaben mit Kurzlösungen ermöglichen ein Selbststudium.

Aus dem Vorwort zur ersten Auflage

Im Wirtschaftsleben wird gerechnet. Es geht um Stückzahlen und Preise, Umsätze und Gewinne und um ihre Beziehungen untereinander. Viele ökonomische Probleme lassen sich lösen, indem man Zahlen addiert und multipliziert und Prozente berechnet, aber nicht alle! Die moderne Wirtschaftswissenschaft benutzt mathematische Symbole und Begriffe, um ökonomische Sachverhalte allgemein und knapp darzustellen. Sie bedient sich dabei vor allem der Differential- und Integralrechnung sowie der linearen Modelle und Gleichungssysteme. Die ökonomische Literatur ist deshalb voller Formeln und mathematischer Herleitungen. Wer Betriebswirtschaftslehre oder Volkswirtschaftslehre studiert, mag das anfangs schrecklich finden oder zumindest gewöhnungsbedürftig. Doch braucht es für die Grundbegriffe kein vertieftes mathematisches Verständnis, und der Nutzen ist leicht einzusehen. Grundsätzlich kann man zwar alles, was sich durch eine mathematische Formel beschreiben lässt, auch mit bloßen Worten ausdrücken, doch braucht man dafür in der Regel sehr viel mehr Platz. Und: Wer will das alles lesen und sich auch noch merken? Die mathematische Notation dient weitgehend lediglich als
Kurzschrift, um Sachverhalte knapp und einprägsam zu formulieren. Hinzu kommt, dass die mathematische Sprache präziser ist als die gewöhnliche Sprache. Schließlich erlaubt die mathematische Formulierung Kalküle und Rechenverfahren, um etwa mit Hilfe der Differentialrechnung oder der linearen Programmierung optimale Lösungen für ein ökonomisches Problem zu berechnen. In diese Dinge soll das vorliegende Buch einführen. Es soll die Studierenden in die Lage versetzen, wirtschaftswissenschaftliche Texte zu lesen, ökonomische Modelle zu verstehen und Optimierungsverfahren
einzusetzen.

Das Buch richtet sich an Studierende im Bachelorstudium. Für diese sind vor allem die im Inhaltsverzeichnis schwarz markierten Abschnitte gedacht. Darüber hinaus soll das Buch die Studierenden im weiteren Studium begleiten und als Nachschlagewerk neben
Veranstaltungen zur Mikroökonomie, zum Operations Research, zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und ökonomischen Spezialfällen dienen. Die im Inhaltsverzeichnis blau markierten Abschnitte und Kapitel sind zur Ergänzung und für das Masterstudium gedacht. Zahlreiche Lernhilfen, durchgerechnete Beispiele und Aufgaben mit Kurzlösungen ermöglichen ein Selbststudium. [...]

Voraussetzung für dieses Lehrbuch ist ein Grundkurs Mathematik, wie er an deutschen Gymnasien zum Abitur üblich ist, wobei die inhaltlichen Schwerpunkte des Abiturs (Funktionen, Grenzprozesse und Approximation, Modellierung, algorithmische Berechnung, Darstellung und Messung im Euklidischen Raum) in knapper Form
aufgegriffen und wiederholt werden. Streng genommen setzen wir lediglich eine gewisse Erfahrung und Gewandtheit im Umgang mit mathematischen Begriffsbildungen und Formeln voraus. Anhänge über Mengen, Summen und Produkte sowie komplexe Zahlen enthalten Zusammenfassungen von speziellem Schulstoff. Das Literaturverzeichnis verweist auf geeignete Lehrbücher zu dessen Wiederholung sowie auf weiterführende Literatur.

Eine Besonderheit des Buches ist die enge Verknüpfung von mathematischen Begriffen mit solchen der Volkswirtschaftslehre und des Operations Research. Produktions- und Nutzenfunktionen werden frühzeitig eingeführt, ebenso wie Modelle der Verzinsung und des Wachstums einer Volkswirtschaft. Dies soll die Rolle der mathematischen Methoden als Teil der Grundausbildung in den Wirtschaftswissenschaften klären und den Transfer in die übrigenökonomischen Disziplinen erleichtern. [...]

Errata

Leider hat auch bei uns der Dreckfuhlerteufel zugeschlagen. Die wichtigsten Korrekturen haben wir in einer Errata-Liste zur ersten Auflage und in einer Errata-Liste zur zweiten Auflage zusammengefasst.

Inhaltsverzeichnis

1 Funktionen
1.1 Grundbegriffe
1.2 Umkehrfunktion, Verkettung
1.3 Bivariate Funktionen
1.4 Multivariate Funktionen
1.5 Weitere Eigenschaften multivariater Funktionen
1.6 Ordnungen und Äquivalenzrelationen
Aufgaben

2 Matrizen und Vektoren
2.1 Matrizen
2.2 Addition und Skalarmultiplikation von Matrizen
2.3 Multiplikation von Matrizen
2.4 Inverse Matrizen
2.5 Lineare Abbildungen
2.6 Geometrie des IRⁿ
2.7 Weitere Eigenschaften von Mengen im IRⁿ
2.8 Orthogonale Matrizen und Abbildungen
Aufgaben

3 Folgen und Reihen
3.1 Zahlenfolgen
3.2 Mehrdimensionale Folgen
3.3 Weitere Eigenschaften von Folgen
3.4 Reihen
3.5 Geometrische Reihe
3.6 Anwendung: Finanzmathematik
3.7 Konvergenzkriterien für Reihen
3.8 Stetigkeit von Funktionen
3.9 Weitere Eigenschaften stetiger Funktionen
3.10 Fixpunkte einer Funktion
3.11 Stetigkeit von Funktionen mehrerer Veränderlicher
Aufgaben

4 Differenzierbare Funktionen einer Variablen
4.1 Ableitung, Differential, Elastizität
4.2 Ableitungsregeln
4.3 Erste und zweite Ableitung
4.4 Nullstellen und Extrema
4.5 Wendepunkte
4.6 Monotonie, Konkavität, Konvexität
4.7 Höhere Ableitungen und Taylor-Polynom
4.8 Regel von L’Hospital
4.9 Mittelwertsatz
4.10 Numerische Verfahren zur Nullstellenbestimmung
Aufgaben

5 Differenzierbare Funktionen mehrerer Variablen
5.1 Ableitung, Differential, Elastizitäten
5.2 Ableitungsregeln
5.3 Ableitung vektorwertiger Funktionen
5.4 Kettenregel und totale Ableitung
5.5 Homogenität
5.6 Implizite Funktionen
5.7 Richtungsableitung
5.8 Lokale lineare Approximation
Aufgaben

6 Optimierung von Funktionen mehrerer Variablen
6.1 Extrema im Innern des Definitionsbereichs
6.2 Extrema am Rand des Definitionsbereichs
6.3 Globale Extrema
6.4 Extrema unter Nebenbedingungen
6.5 Enveloppentheorem
6.6 Hinreichende Charakterisierung von Extrema unter Nebenbedingungen
6.7 Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen
6.8 Taylor-Polynom
Aufgaben

7 Integralrechnung
7.1 Stammfunktionen
7.2 Unbestimmte Integrale
7.3 Bestimmte Integrale
7.4 Weitere Rechenregeln für bestimmte Integrale
7.5 Berechnung von Flächen
7.6 Partielle Integration
7.7 Integration durch Substitution
7.8 Uneigentliche Integrale
7.9 Integralrechnung in mehreren Variablen
7.10 Ableitung unter dem Integral
Aufgaben

8 Lineare Gleichungen
8.1 Lösung einer linearen Gleichung
8.2 Elementare Zeilenumformungen
8.3 Das Gauß-Jordan-Verfahren
8.4 Inversion einer Matrix
Aufgaben

9 Grundbegriffe der linearen Algebra
9.1 Linearkombinationen und Erzeugnis
9.2 Lineare Unterräume
9.3 Lineare Unabhängigkeit
9.4 Basis und Dimension
9.5 Rang einer Matrix
9.6 Mehr über lineare Gleichungen
9.7 Vektorräume
Aufgaben

10 Determinanten und Eigenwerte von Matrizen
10.1 Determinanten
10.2 Eigenwerte
10.3 Eigenwerte von symmetrischen Matrizen
Aufgaben

11 Lineare Optimierung
11.1 Grafische Lösung
11.2 Das Simplexverfahren
11.3 Die Mathematik des Simplexverfahrens
11.4 Das Simplexverfahren in Tableauform
11.5 Die Zweiphasenmethode zur Gewinnung einer Anfangslösung
11.6 Dualität
Aufgaben

12 Differential- und Differenzengleichungen
12.1 Differentialgleichungen
12.2 Differenzengleichungen
Aufgaben

A Das griechische Alphabet

B Mengen

C Summen und Produkte

D Komplexe Zahlen

E Kurzlösungen

Ausgewählte Lehrbücher

Index